微分与导数之一，切线

最新推荐文章于 2024-06-10 07:13:56 发布

原创最新推荐文章于 2024-06-10 07:13:56 发布 · 1.1k 阅读

·

1

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

文章标签：

#高数数学 #微积分 #微分

高等数学专栏收录该内容

44 篇文章

订阅专栏

以直代曲是微积分的基本思想

用来代替曲线的直线就是切线，这就是本课要讨论的问题

1 困难

对于一条曲线

我们感兴趣的，可能有它的长度

它的面积，等等

但很显然，因为是曲线，所以这些并不好求解。

我们需要想办法把它用直线表示。

2 分析

假设有曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ ，如果两者完全相等，那么有：

$f(x)=g(x)$

不过这显然很难办到。

但可以做到在某一点相等

下面，我们稍微进一步。以 $x_0$ 为中心，取一小段

在这一段上, $f(x)$ 与 $g(x)$ 相差很小

并且，随着 $\Delta x$ 的减小，直线不断逼近曲线

将此推广到整条曲线。首先将，曲线分成若干份

每份都用一条线段代替

并且随着划分的越来越细，这些直线越来越接近之前的曲线

这种，用直线代替曲线的方法，称为以直代曲。

下面，将前面的分析，落到代数上

3 建模

3.1 条件一

前面说过，在一小段区间上，直线与曲线相差较小

$f(x)\approx g(x)\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$

加上高阶无穷小 $o(\Delta x)$ ,就可以把约等于变成等于

$f(x)= g(x)+o(\Delta x)\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$

3.2 条件二

其次，曲线 $f(x)$ 与直线 $g(x)$ 在 $x_0$ 点处相等。

如果，此时再知道直线的斜率 $k$

那么就能得到直线的表达式

$g(x)=k(x-x_0)+f(x_0)$

下面，我们就来求解斜率

4 斜率

经过上面的分析我们有了：

$\left.\begin{aligned} g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\ f(x)-g(x)=o(\Delta x) \end{aligned}\right\}\implies f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x)$

将 $x-x_0$ 用 $\Delta x$ 代替

等式两边同除 $\Delta x$

$\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

两侧取极限：

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

根据高阶无穷小的定义，可知等式右边为零

略微作一下化简可得：

$k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}$

这个式子中的每个元素都是已知的。

这样如果极限存在，则斜率存在，斜率存在就能求出直线

$g(x)=f(x_0)+\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}}_{k}(x-x_0)$

这就是以直代曲中的直，也就是切线。

声明：原创内容，未授权请勿转载，内容合作意见反馈联系公众号: matongxue314

关注马同学图解数学

微信公众号：matongxue314

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

打赏作者

马同学图解数学 你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20

扫码支付：¥1

获取中

扫码支付

您的余额不足，请更换扫码支付或充值

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。