为什么偏导数连续，函数就可微？

最新推荐文章于 2025-10-15 18:03:29 发布

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#微积分 #偏导数 #导数 #高等数学 #多变量微积分

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本文深入探讨了多变量微积分中偏导数连续与函数可微性的关系，解析了偏导数、连续性和可微性的概念，揭示了偏导数连续推导函数可微的原理，并对结论条件进行了合理减弱。

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多变量微积分里面有这么一个结论：

如果函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点连续，那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：

而不连续的曲线会有断裂：

蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设 f(x_0) 附近某点为 $f(x_0+\Delta x)$ ，根据连续的性质有：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$

利用极限的性质可以得到：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

因此上式表明， f(x_0) 与附近 $f(x_0+\Delta x)$ 的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义

2.1 单变量函数的微分

一元的情况下，在 (x_0,f(x_0)) 点可微指的是，在点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：

距离 (x_0,f(x_0)) 越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：

令 $\Delta x=x-x_0$ ，那么 x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数 f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

平面 $y=t,t\in\mathbb{R}$ 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动，是不会变化的，只有会变化：

偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于 (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：

这种近似关系可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

同样的道理，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 描述的是只有值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为 f_y(x,y) ，其切线与之的近似关系可以表示为：：

$\underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}$

2.2.2 微分

多变量的函数 f(x,y) 在 (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分，指的是在点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

切平面与曲面的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}$

上面出现了 $o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$ ，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：

此圆的半径可以表示为：

$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

2.3 微分与偏微分的关系

很显然，过 (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点，并不是只有 x,y 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。

而偏微分只是无数切线中的两条，所以：

$偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微$

比如 $f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：

在 (0,0,0) 点， f(x,y) 与 x=0,y=0 的交线是下面红色的直线，分别与轴和轴重叠：

因此，在 (0,0,0) 点的偏微分就是轴和轴。但是 f(x,y) 与 y=x 的交线是：

在 (0,0,0) 点形成了一个尖点：

很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此 f(x,y) 在 (0,0,0) 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。

3 偏导数连续推出可微

前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\ \hline \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\ \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\ \hline \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\ \hline\end{array}$

下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。

先给出、、、四个点，把它们的三维坐标也标出来：

点的偏导数连续，分别为：

$\frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}$

从出发，运动到，很显然只有方向有变化：

因此点的值为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)$

继续往上走到点：

因为偏导数连续，所以附近的偏导数也是存在的，假设的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial y_b}$ ，那么可得：

$\begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点} &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\ \\ &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y) \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}$

这里就是关键了，因为偏导数连续，所以、偏导数差不多，有：

$\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)$

因此上式可以改写为：

$\begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}$