堆棋子

网易笔试：堆棋子

题目描述

小易将n个棋子摆放在一张无限大的棋盘上。第i个棋子放在第x[i]行y[i]列。同一个格子允许放置多个棋子。每一次操作小易可以把一个棋子拿起并将其移动到原格子的上、下、左、右的任意一个格子中。小易想知道要让棋盘上出现有一个格子中至少有i(1 ≤ i ≤ n)个棋子所需要的最少操作次数.

输入描述: 
输入包括三行,第一行一个整数n(1 ≤ n ≤ 50),表示棋子的个数 
第二行为n个棋子的横坐标x[i](1 ≤ x[i] ≤ 10^9) 
第三行为n个棋子的纵坐标y[i](1 ≤ y[i] ≤ 10^9)

输出描述: 
输出n个整数,第i个表示棋盘上有一个格子至少有i个棋子所需要的操作数,以空格分割。行末无空格

如样例所示: 
对于1个棋子: 不需要操作 
对于2个棋子: 将前两个棋子放在(1, 1)中 
对于3个棋子: 将前三个棋子放在(2, 1)中 
对于4个棋子: 将所有棋子都放在(3, 1)中

输入例子1: 
4 
1 2 4 9 
1 1 1 1

输出例子1: 
0 1 3 10

思路：

下面的思路参考了@蟹粉馅大糖包

本题的关键是找到一个最优的聚合点，使得各个棋子到这个聚合点的距离最短。由于x和y轴是相互独立的，互不影响，因此可以先分析x轴再分析y轴。以【1，2，4，9】为例，根据@蟹粉馅大糖包的证明，最优聚合点的x坐标一定是【1，2，4，9】这几个数之一，同理y坐标一定是【1，1，1，1】这几个数之一。有了这个结论，就可以使用暴力法，一一枚举每一个可能的点并计算距离，求出距离最小的那个点。

为了证明上面的结论，我们使用反证法：

假设存在点x0使得其余各点到x0的距离最短，并且x0不是【1，2，4，9】之一。以x0=6为例，在x0左边有【1，2，4】共3个数，我们把3记为a；在x0右边有【9】共1个数，把1记为b。【1，2，4】到x0的距离记为A；【9】到x0的距离记为B；那么总距离就为A+B。

当a > b时，我们发现x0左边第一个在【1，2，4，9】集合中的数，会得到更小的距离。即：x0等于4时，总距离是：A+B-a * 2 + b * 2，其中a等于3，b等于1。所以我们之前的假设不成立~

同理，当a < b时，x0右边第一个在【1，2，4，9】集合中的数，也会使总距离变小。

当a == b时，“x0等于3”与 “x0等于2” 或者 “x0等于4”时的总距离相等，因此“x0等于3”就可以被“x0等于2”或“x0等于4”替代。

总结一下， 我们最开始的假设不成立，x0必然是【1，2，4，9】之一，同理y也必然出现在【1，1，1，1】之一。

#include <iostream>

#include <vector>

#include <algorithm>

#include <climits>

 

using namespace std;

 

int n, x[55], y[55], ans[55];

 

void helper(){

     for ( int i = 0; i < n; ++i){

         for ( int j = 0; j < n; ++j){

             int tmp = 0;

             vector< int > dis(n, 0);

             for ( int k = 0; k < n; ++k) dis[k] = abs (x[i] - x[k]) + abs (y[j] - y[k]);

             std::sort(dis.begin(), dis.end());

             for ( int k = 0; k < n; ++k){

                 tmp += dis[k];

                 ans[k] = min(ans[k], tmp);

             }

         }

     }

}

 

int main( int argc, char **argv){

     cin>>n;

     for ( int i = 0; i < n; ++i) cin>>x[i];

     for ( int i = 0; i < n; ++i) cin>>y[i];

     for ( int i = 0; i < n; ++i) ans[i] = INT_MAX;

     helper();

     for ( int i = 0; i < n - 1; ++i) cout<< ans[i] << " " ;

     cout<< ans[n - 1];

}