区间估计

一.实验目的

    分别使用Excel、SPSS和Python软件做区间估计，探究哪种软件可以实现哪几种区间估计。

二.实验内容

参数的点估计给出了一个具体的数值，但其精度如何，点估计本身无法给出回答。在实际中，度量一个点估计的精度最直观的方法是给出未知参数的一个区间。

1.    区间估计的概念

设 是总体的一个参数， 是样本，在得到样本观测值后，把 估计在区间 内。由于样本的随机性，区间 盖住未知参数 的可能性并不确定，通常要求这个区间盖住 的概率越大越好，但这必然导致区间长度增大，使得估计的精度降低，为了解决这种矛盾，引入了置信区间的概念。即在置信度为 条件下，寻找精度最高的区间估计。

2.    定义

设 是总体的一个参数，其参数空间为 ， 是来自该总体的样本，对给定的一个 ，假设有两个统计量 和 ，若对任意的 ，有

则称随机区间 为 的置信水平为 的置信区间， 和 分别为置信下限和置信上限。

3.    枢轴量法

构造未知参数 的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以分为：

⑴设法构造一个样本和 的函数G，使得G的分布不依赖于未知参数。

⑵适当地选取两个常数c和d，使对给定的 ，有

⑶把 解出来。

4.    单个正态总体参数的置信区间

⑴ 已知时 的置信区间

枢轴量可选为 ，置信区间为

⑵ 未知时 的置信区间

统计量为 ，置信区间为

⑶ 的置信区间

统计量为 ，置信区间为

5.    两个正态总体下的置信区间

设 是来自 的样本， 是来自 的样本，且这两个样本相互独立。

⑴ 的置信区间

① 和 已知时

此时有

取统计量为

的 置信区间为：

② 未知时

此时有 ，

 

取统计量为

记 ，则 的置信区间为

③ 已知时

选取统计量为

记 ，

的 置信区间为：

⑵ 的置信区间

由于 ，且 和 相互独立

选取的统计量为

对给定的置信水平 ，由

置信区间为

6.    配对样本t检验

 

三.实验过程

1. 已知时 的置信区间

考虑下面一个案例

随机从一批苗木中抽取16株，测得其高度(单位：m)为：

1.14  1.10 1.13  1.15  1.20 1.12  1.17  1.19 1.15  1.12  1.14 1.20  1.23  1.11 1.14  1.16

设苗的高度服从正态分布，求总体均值 的0.95的置信区间。( )

I使用Excel

步骤：1.录入数据

2.计算均值，标准差，方差，分别如下

均值：=AVERAGE(A1:A16)

样本标准差：=STDEV(A1:A16)

总体标准差：=STDEVP(A1:A16)

样本方差：=VAR(A1:A16)

总体方差：=VARP(A1:A16)

3.计算置信下限和置信上限

置信下限：=B2-NORMSINV(1-0.5*0.05)*0.01/SQRT(COUNT(A1:A16)

置信上限=B2+NORMSINV(1-0.5*0.05)*0.01/SQRT(COUNT(A1:A16)

保留小数位：按住Ctrl键，可以选中多个目标框，在设置单元格格式的数值中进行修改。

置信区间为：(1.148，1.158).

在Excel中也可以利用CONFIDENCE(alpha,standard_dev,size)函数来计算正态总体方差已知情况下的置信区间：该函数的返回值等于 。

II使用SPSS

利用SPSS的Explore过程求置信区间时，SPSS运用的是t分布函数，而不是标准正态分布函数。因此，与 已知与否无关。

III使用Python

2. 未知时 的置信区间

I使用Excel

置信下限：=B2-TINV(0.5*0.05,COUNT(A1:A16)-1)*C2/SQRT(COUNT(A1:A16))

置信上限：

=B2+TINV(0.5*0.05,COUNT(A1:A16)-1)*C2/SQRT(COUNT(A1:A16))

置信区间为：(1.1304276，1.1758224).

注意：在Excel中，区间估计为

II使用SPSS

输出结果：

所以，总体均值 的0.95的置信区间[1.1337,1.1726].

III使用Python

3. 的置信区间

I使用Excel

置信下限：

=(COUNT(A1:A16)-1)*D2/CHIINV(0.5*0.05,COUNT(A1:A16))

置信上限：

=(COUNT(A1:A16)-1)*D2/CHIINV(1-0.5*0.05,COUNT(A1:A16))

的置信区间为：(0.0006914，0.0028872,)

注意：在excel中区间估计为：

II使用SPSS

III使用Python

4. 和 已知时， 的置信区间

考虑下面一个案例

某班20人进行了数学测验，第1组和第2组测验结果如下：

第一组：91  88 76  98  94 92  90  87 100  69

第二组：90  91 80  92  92 94  98  78   86  91

已知两组的总体方差分别是57与53，取 ，能否认为两组学生的成绩有差异？

I使用Excel

操作步骤：

i.录入数据

ii计算置信区间

置信下限：=C2-C5-NORMSINV(1-0.5*0.05)*SQRT(57/E2+53/E5)

置信上限：=C2-C5+NORMSINV(1-0.5*0.05)*SQRT(57/E2+53/E5)

的置信区间为：(-7.20047，5.800465).

II使用SPSS

III使用Python

已知时，u1-u2的置信区间为：

[-7.2004651393292933, 5.8004651393292876]（代码见附录1）

5. 未知时, 的置信区间

I使用Excel

,其中

置信下限：

=C2-C5-TINV(0.5*0.05,F2+F5-2)*SQRT((F2+F5)/F2/F5)*G2

置信上限： =C2-C5+TINV(0.5*0.05,F2+F5-2)*SQRT((F2+F5)/F2/F5)*G2

故 的置信区间为[-9.46307,8.063071].

II使用SPSS

两独立样本t检验

1.    录入数据，并增加新的变量group，并设定“1=第一组，2=第二组”

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    输出结果：

结果分析：两组学生成绩的均值，标准差。

由方差方程的Levene检验可知，F的相伴概率(sig)为0.375，大于显著性水平0.05，不能拒绝方差相等的假设，可以认为两组学生的数学成绩方差无显著差异，然后看方差相等时T检验的结果，p值为0.847，大于显著性水平0.05，不能拒绝T检验的原假设，即认为两组学生的数学成绩没有差异。且 的置信区间为[-8.230,6.830].

 

III使用Python

未知时, 的置信区间：

[-8.2298510092259658, 6.8298510092259601]

结果与SPSS相同，与Excel有差别原因：

分别使用Excel和Python计算 ，发现在Excel中， ，在Python中 ，经过查表知  （ ）。可以发现Excel做t检验并不精确，不建议使用。

 

6. 已知时, 的置信区间

其中，  

案例中的方差已知改为两者总体方差之比为2，其它同上。

I使用Excel

置信下限：=C2-C5-TINV(0.5*0.05,F2+F5-2)*SQRT((2*F2+F5)/F2/F5)*G2

置信上限：=C2-C5+TINV(0.5*0.05,F2+F5-2)*SQRT((2*F2+F5)/F2/F5)*G2

的置信区间为[-10.603，9.203027].

II使用SPSS

III使用Python

已知时, 的置信区间

[-9.2093826709983961, 7.8093826709983905]

 

7. 的置信区间