CodeForces 149D Coloring Brackets（区间DP）

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题意：给出一个括号序列，该序列保证是合法的，即每个括号都能找到唯一的一个匹配括号。给出下列三个染色规则，问有多少种染色情况？

1.每个括号要么不涂色，要么涂红色或者蓝色。

2.每一对匹配括号，必须有一个且仅有一个被涂色。

3.两个相邻的括号不能有相同的颜色。（若两者均未涂色也可以）

思路：之前做过最大匹配括号数目的题目，是区间DP问题，此题也可以采用区间DP来做，因为对于每个括号与之匹配的括号是唯一的，所以要事先找到每个括号的匹配括号再进行DP。dp数组开到四维，dp[le][rig][i][j]表示re到rig这个区间的括号，当le、rig位置的括号分别为i、j颜色时的染色种类数。颜色用0、1、2表示不涂色、涂红色、涂蓝色。dp过程，当re和rig直接匹配，直接去递归处理（re + 1，rig - 1）区间，利用（re + 1，rig - 1）区间的相关信息更新dp[re][rig][...][...]；否则，则递归处理（le，m[le]）、（m[le] + 1，rig）区间，再去更新dp[re][rig][...][...]。具体的思路代码可见。

// CodeForces 149D Coloring Brackets.cpp 运行/限制：62ms/2000ms
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
char s[800];
int len,m[800];//m存储匹配结果
stack<int> st;//用于匹配算法
long long dp[800][800][3][3];//le rig color_at_le color_at_rig
void match() {//利用栈进行括号匹配算法
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		if (s[i] == '(') {
			st.push(i);
		}
		else {
			int t = st.top();
			st.pop();
			m[t] = i;
			m[i] = t;
		}
	}
}
void DP(int le, int rig) {
	if (le + 1 == rig) {//一对匹配括号染色只有四种情况（0，1），（1，0），（0，2），（2，0）
		dp[le][rig][0][1] = dp[le][rig][1][0] = 1;
		dp[le][rig][0][2] = dp[le][rig][2][0] = 1;
		return;
	}
	if (m[le] == rig) {//左右边界括号匹配
		DP(le + 1, rig - 1);
		for (int i = 0; i < 3; i++) {//枚举le + 1位置处的颜色
			for (int j = 0; j < 3; j++) {//枚举rig - 1处的颜色
				//更新le,rig的（0，1）情况
				if(j != 1) dp[le][rig][0][1] = (dp[le][rig][0][1] + dp[le + 1][rig - 1][i][j]) % MOD;
				//更新le,rig的（1，0）情况
				if(i != 1) dp[le][rig][1][0] = (dp[le][rig][1][0] + dp[le + 1][rig - 1][i][j]) % MOD;
				//更新le,rig的（0，2）情况
				if(j != 2) dp[le][rig][0][2] = (dp[le][rig][0][2] + dp[le + 1][rig - 1][i][j]) % MOD;
				//更新le,rig的（2，0）情况
				if(i != 2) dp[le][rig][2][0] = (dp[le][rig][2][0] + dp[le + 1][rig - 1][i][j]) % MOD;
			}
		}
	}
	else {//左右边界括号不匹配
		DP(le, m[le]);
		DP(m[le] + 1, rig);
		for (int i = 0; i < 3; i++) {//枚举le位置处颜色
			for (int j = 0; j < 3; j++) {//枚举m[le]位置处颜色
				for (int t = 0; t < 3; t++) {//枚举m[le] + 1位置处颜色
					for (int w = 0; w < 3; w++) {//枚举rig位置处的颜色
						if (j == 1 && t == 1 || j == 2 && t == 2) continue;
						dp[le][rig][i][w] = (dp[le][rig][i][w] + dp[le][m[le]][i][j] * dp[m[le] + 1][rig][t][w]) % MOD;
					}
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	while (scanf("%s", s) != EOF) {
		len = strlen(s);
		match();
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		DP(0,len - 1);
		long long re = 0;
		for (int i = 0; i < 3; i++) {
			for (int j = 0; j < 3; j++) {
				re = (re + dp[0][len - 1][i][j]) % MOD;
			}
		}
		printf("%I64d\n", re);
	}
    return 0;
}