洛谷p1399(基环树)

该题目要求在包含一个环的图中选择一个点断开环,以使得到达最远点的最短路径最小。区别于求解基环树直径,这个问题的重点在于找到使最短路径最小的断点。通过枚举环上的边,构造出不同的树形结构,并计算树的直径。采用动态规划的方法,以O(n)的时间复杂度解决,其中链上的点的解可通过前缀最大值、后缀最大值和前后缀交的最大值来确定。

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题意:给你一个只有一个环的图,让你选一个点(可以在边上),使得到最远点的最短路最小。

思路:

如果是一颗树的话,就是求树的直径/2。

如果是基环树的话,这道题显然不是基环树的直径,因为是到最远点的最短路的缘故。

那我们考虑最终解到其他所有点的最短路中,一定没有环,所以一定是一棵树。

所以我们枚举基环树所有可能出现的树,即枚举在环上去一条边,求树的直径。

显然最后,我们需要得到的很多解中取最小值,明显其他的不符合最短路。

当然如果基环树的直径在树中的话,答案肯定就是基环树的直径。

暴力的复杂度是o(n*n)的,但是这道题与求基环树的直径的唯一区别就是环上取的是最小值。

所有dp滑一下就好了。

考虑开始环断开一条边变成一条链,链上一个点的解一定是前缀的最大值,后缀的最大值,前后缀交的最大值取最大。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define N 100005
#define ll long long
struct edge{
    int to,n;ll w;
};edge d[N*2];
int h[N],vis[N],q[N], tot=1,r=0;
void add(int x,int y,ll w){
    d[tot]={y,h[x],w};h[x]=tot++;
    d[tot]={x,h[y],w};h[y]=tot++;
}
ll ans2,ans1,sum,maa,ma1[N],ma2[N],dis[N];
int getloof(int u,int fa){
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=d[i].n){
        int to=d[i].to;
        if(to==fa)continue;
        if(vis[to]){
            q[++r]=u;dis[r]=d[i].w;
            return to;
        }
        int key=getloof(to,u);
        if(key){
            q[++r]=u;dis[r]=d[i].w;
            return key!=u?key:0;
        }
    }
    return 0;
}

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=d[i].n){
        int to=d[i].to;
        if(vis[to])continue;
        dfs(to);
        if(ma1[to]+d[i].w>=ma1[u]){
            ma2[u]=ma1[u];
            ma1[u]=ma1[to]+d[i].w;
        }
        else ma2[u]=max(ma2[u],ma1[to]+d[i].w);
    }
    ans1=max(ans1,ma1[u]+ma2[u]);
}
ll dp1[N],dp2[N],dp3[N],dp4[N];
void solve(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=r;i++)vis[q[i]]=1;
    for(int i=1;i<=r;i++)dfs(q[i]);
    sum=0;dp1[1]=dp3[1]=maa=ma1[q[1] ];
    for(int i=2;i<=r;i++)
        dp1[i]=max(dp1[i-1],(sum+=dis[i])+ma1[q[i]]),
        dp3[i]=max(dp3[i-1],ma1[q[i]]+(maa+=dis[i])),
        maa=max(ma1[q[i]],maa);
    sum=0;dp2[r]=dp4[r]=maa=ma1[q[r]];
    for(int i=r-1;i;i--)
        dp2[i]=max(dp2[i+1],(sum+=dis[i+1])+ma1[q[i]]),
        dp4[i]=max(dp4[i+1],ma1[q[i]]+(maa+=dis[i+1])),
        maa=max(ma1[q[i]],maa);
    ans2=dp3[r];
    for(int i=1;i<r;i++)
        ans2=min(ans2,max(dp1[i]+dp2[i+1]+dis[1],max(dp3[i],dp4[i+1])));
    printf("%.1f\n",max(ans1,ans2)/2.);
}
int main()
{
    int n,x,y,w;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add(x,y,w);
    }

    getloof(1,0);
    solve();
    return 0;
}

 

### 关于洛谷 P1481 的字典 (Trie) 算法 #### 字典 (Trie) 数据结构简介 字典是一种用于高效存储和检索字符串集合的数据结构。它通过将公共前缀共享的方式来节省空间并提高查询效率。对于本题而言,字典的核心思想在于构建一棵多叉来表示一组单词的字符序列[^5]。 #### 构建字典的过程 在字典中,每个节点代表一个字符,而从根到某个节点的路径则构成了一部分字符串。以下是构建字典的主要过程: 1. **初始化**: 创建一个根节点 `root`。 2. **插入操作**: 将每一个单词逐字符插入字典中。如果当前字符不存在,则创建新的子节点;否则沿已有路径继续向下遍历直到完成整个单词的插入。 ```python class TrieNode: def __init__(self): self.children = {} self.is_end_of_word = False def insert(root, word): node = root for char in word: if char not in node.children: node.children[char] = TrieNode() node = node.children[char] node.is_end_of_word = True ``` #### 查询操作 为了判断某字符串是否存在或者统计某些特定件下的匹配数量,可以通过递归或迭代的方式访问字典中的相应节点。例如,在此题目背景下可能需要计算满足一定约束件下能够组成的合法串数。 #### 动态规划与状态转移方程 由于题目涉及到构造固定长度包含指定数目关键词汇表内的任意组合形式的新字符串问题,因此除了单纯依靠字典外还需要引入动态规划的思想来进行求解。设 dp[i][j] 表示已经处理到了第 i 位,并此时正好包含了 j 个目标词汇的情况总数,则有如下关系式成立: \[dp[i][j]=\sum_{w \in S} dp[i-len(w)][max(0,j-cnt[w])]\] 其中 \(S\) 是所有候选单词集,\(len(w)\) 和 \(cnt[w]\) 分别对应着单个词语本身的尺寸以及其贡献给终计数值的部分大小[^4]。 #### 完整解决方案框架 综合以上分析我们可以给出这样一个完整的解决流程概述: - 初始化必要的辅助数组如 trie 结构体实例化对象; - 根据输入数据依次调用上述定义好的函数完成各项预处理工作比如建立索引映射关系等准备工作; - 使用双重循枚举位置变量i及其关联参数k从而填充DP表格直至得出后答案为止。 ```python MOD = int(1e9 + 7) trie_root = TrieNode() for word in words_set: insert(trie_root, word) # Initialize DP table with dimensions [N+1][K+1], where N is max length of string to be formed, # K represents number of distinct required substrings. dp = [[0]*(k_max+1) for _ in range(n_max+1)] dp[0][0] = 1 for l in range(1, n_max+1): for c in alphabet: current_node = trie_root temp_dp = list(dp[l]) # Traverse through possible prefixes ending at position 'l' prefix_length = 0 while current_node and prefix_length <= l: new_k = min(k_max, k_found[current_node]) if new_k >=0 : temp_dp[new_k]=(temp_dp[new_k]+dp[l-prefix_length][new_k-count(current_node)])% MOD if c in current_node.children: current_node=current_node.children[c] prefix_length+=1 else: break dp[l]=temp_dp[:] result=sum([d[k_target]%MOD for d in dp[n]]) print(result) ```
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