洛谷p1399(基环树）

最新推荐文章于 2024-07-02 23:54:22 发布

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该题目要求在包含一个环的图中选择一个点断开环，以使得到达最远点的最短路径最小。区别于求解基环树直径，这个问题的重点在于找到使最短路径最小的断点。通过枚举环上的边，构造出不同的树形结构，并计算树的直径。采用动态规划的方法，以O(n)的时间复杂度解决，其中链上的点的解可通过前缀最大值、后缀最大值和前后缀交的最大值来确定。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给你一个只有一个环的图，让你选一个点（可以在边上），使得到最远点的最短路最小。

思路：

如果是一颗树的话，就是求树的直径/2。

如果是基环树的话，这道题显然不是基环树的直径，因为是到最远点的最短路的缘故。

那我们考虑最终解到其他所有点的最短路中，一定没有环，所以一定是一棵树。

所以我们枚举基环树所有可能出现的树，即枚举在环上去一条边，求树的直径。

显然最后，我们需要得到的很多解中取最小值，明显其他的不符合最短路。

当然如果基环树的直径在树中的话，答案肯定就是基环树的直径。

暴力的复杂度是o(n*n)的，但是这道题与求基环树的直径的唯一区别就是环上取的是最小值。

所有dp滑一下就好了。

考虑开始环断开一条边变成一条链，链上一个点的解一定是前缀的最大值，后缀的最大值，前后缀交的最大值取最大。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define N 100005
#define ll long long
struct edge{
    int to,n;ll w;
};edge d[N*2];
int h[N],vis[N],q[N], tot=1,r=0;
void add(int x,int y,ll w){
    d[tot]={y,h[x],w};h[x]=tot++;
    d[tot]={x,h[y],w};h[y]=tot++;
}
ll ans2,ans1,sum,maa,ma1[N],ma2[N],dis[N];
int getloof(int u,int fa){
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=d[i].n){
        int to=d[i].to;
        if(to==fa)continue;
        if(vis[to]){
            q[++r]=u;dis[r]=d[i].w;
            return to;
        }
        int key=getloof(to,u);
        if(key){
            q[++r]=u;dis[r]=d[i].w;
            return key!=u?key:0;
        }
    }
    return 0;
}

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=d[i].n){
        int to=d[i].to;
        if(vis[to])continue;
        dfs(to);
        if(ma1[to]+d[i].w>=ma1[u]){
            ma2[u]=ma1[u];
            ma1[u]=ma1[to]+d[i].w;
        }
        else ma2[u]=max(ma2[u],ma1[to]+d[i].w);
    }
    ans1=max(ans1,ma1[u]+ma2[u]);
}
ll dp1[N],dp2[N],dp3[N],dp4[N];
void solve(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=r;i++)vis[q[i]]=1;
    for(int i=1;i<=r;i++)dfs(q[i]);
    sum=0;dp1[1]=dp3[1]=maa=ma1[q[1] ];
    for(int i=2;i<=r;i++)
        dp1[i]=max(dp1[i-1],(sum+=dis[i])+ma1[q[i]]),
        dp3[i]=max(dp3[i-1],ma1[q[i]]+(maa+=dis[i])),
        maa=max(ma1[q[i]],maa);
    sum=0;dp2[r]=dp4[r]=maa=ma1[q[r]];
    for(int i=r-1;i;i--)
        dp2[i]=max(dp2[i+1],(sum+=dis[i+1])+ma1[q[i]]),
        dp4[i]=max(dp4[i+1],ma1[q[i]]+(maa+=dis[i+1])),
        maa=max(ma1[q[i]],maa);
    ans2=dp3[r];
    for(int i=1;i<r;i++)
        ans2=min(ans2,max(dp1[i]+dp2[i+1]+dis[1],max(dp3[i],dp4[i+1])));
    printf("%.1f\n",max(ans1,ans2)/2.);
}
int main()
{
    int n,x,y,w;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add(x,y,w);
    }

    getloof(1,0);
    solve();
    return 0;
}