23、系统性能边界分析与实际应用案例

系统性能边界分析与实际应用案例

1. 吞吐量边界分析

1.1 饱和吞吐量

在一个排队系统中，当某个排队中心达到饱和状态时，服务器的利用率为 100%，即 ρ = 1。根据利特尔法则（Little’s law），可以得到公式 ρ ≡ 1 = Xmax Dmax ，其中 Xmax 表示最大吞吐量，Dmax 表示最长的服务需求。在排队回路中，达到饱和的中心被称为瓶颈中心，它控制着系统的最佳可能吞吐量。通过对公式进行变形，可以得到 Xmax = 1 / Dmax 。需要注意的是，一旦达到饱和点，Xmax 就与负载 N 无关，它在与负载 N 的关系图中表现为一条水平的虚线。

在实际系统中，瓶颈中心通常会有最长的队列或等待线。这是因为瓶颈中心上游的所有中心（如图 7.1 中的 Da）的服务需求都小于 Db，所以上游队列的所有完成请求都会堆积在瓶颈队列中，导致瓶颈队列变长。同样，瓶颈下游的所有队列的服务需求也都小于 Db，但它们只能处理从瓶颈队列流出的完成请求，因此无法缩短瓶颈队列的长度。

1.2 无竞争吞吐量

无竞争情况下，通过图 7.1 中的回路所需的最短时间 Rmin 是所有中心服务需求的总和，即 Rmin = Da + Db + Dc 。将其代入响应时间定律（Response Time Law），可以得到 Da + Db + Dc = N / X - Z ，求解吞吐量 X 可得 X = N / (Da + Db + Dc + Z) 。这是在无竞争的特殊约束下的吞吐量。

将无竞争吞吐量与负载 N 进行绘图，它表现为图 7.2 中的倾斜直线，我们将其记为 Xlin，其一般形式为 Xlin = N / (D + Z) ，其中