【习题】背包问题

题目描述：

有n个物品和一个大小为m的背包。给定数组A表示每个物品的大小和数组V表示每个物品的价值。问最多能装入背包的总价值是多大?

问题分析：

状态F(i, j)：前i个物品放入大小为j的背包中所获得的最大价值

状态转移方程：F(i, j) = max{F(i-1, j), F(i-1, j - A[i]) + V[i]}
对于第i个商品，有三种情况：（1）放不下（2）放的下，放或者不放。

如果放不下：此时的价值与前i-1个的价值是一样的

F(i, j) = F(i-1, j)

如果可以放入：需要在两种选择中找最大的

F(i-1, j)： 表示不把第i个物品放入背包中，所以它的价值就是前i-1个物品放入大小为j的背包的最大价值

F(i-1, j - A[i]) + V[i]：表示把第i个物品放入背包中，价值增加V[i],但是需要腾出j-A[i]的大小放第i个商品

初始化：F(0, j) = 0 没放商品 F(i, 0) = 0 包的大小为0（没带包）

返回值：F(n, m)

代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @param V: Given n items with value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
    int backPackII(int m, vector<int> &A, vector<int> &V) {
        // write your code here
        int row = A.size();
        vector<vector<int>> maxV(row + 1, vector<int>(m + 1, 0));
        for(int i = 1; i <= row; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= m; ++j)
            {
                if(A[i - 1] > j)
                    maxV[i][j] = maxV[i - 1][j];
                else
                    maxV[i][j] =max(maxV[i - 1][j], maxV[i - 1][j - A[i - 1]] + V[i - 1]);
            }
        }
        return maxV[row][m];
    }
};