最长上升子序列

最长上升子序列

上次说要写动态规划的背包问题，这次反悔了(doge)
带给大家一道线性DP题目，以洛谷的版本为准：

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

输出 #1

4

说明/提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

题目解答

这道题很简单，但是我觉得可以作为线性DP的代表题

我们来梳理思路：
这道题需要一个序列数组和DP数组，其中DP数组用来记录当前数在子序列中的位置，我们举个例子：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	1	1	1	1	1

这时的数据都在初始状态，我们推进一步：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	1+1	1	1	1	1

$6$较队头$5$要多，作为子序列的第一项，以此类推：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	2	1+1+1	1	1	1

$7$从队头开始遍历，$a[1]、a[2]$符合$a[j]<a[i]$的条件，所以$dp[3]$连续累加$2$，继续：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	2	3	1+0	1	1

$2$不大于前面任何一个数，所以不做计算：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	2	3	1	1+1+1+1	1

$8$前面的$a[1]、a[2]、a[3]$均符合条件，所以连续累加$4$：

a	5	6	7	2	8	4
dp	1	2	3	1	4	1+0

$4$前面的$2$符合条件，但是$2$不在子序列中，所以也不做计算。

推算完成后，我们可以直接得出代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,a[5005],dp[5005],w;
int main(){
    cin>>n;
    dp[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>a[i];
        dp[i]=1;
        for (int j=1;j<i;j++) {
            if (a[i]>a[j]) {
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        w=max(w,dp[i]);
    }
    cout<<w<<endl;
    return 0;
}

如题目所说，这是一道简单的动规板子题，非常经典，这道题考验了我们对线性DP这一知识的掌握，动态规划的题目多写才能掌握要领，大家一定要坚持练习（）

这篇题解到此结束，感谢浏览！