高等工程数学张韵华版第一章课后题

第一章 矩阵和向量

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• 修改了第五题的答案
• 核对了第二版教材后对答案进行了修改第一题、第五题。

本章内容

第 1 章 矩阵和向量

        1.1 矩阵和向量的定义

        1.2 矩阵的基本运算

                1.2.1 矩阵的加法和数乘

                1.2.2 矩阵乘法

                1.2.3 矩阵转置

        1.3 初等变换和初等矩阵

                1.3.1 高斯消元法

                1.3.2 初等矩阵

                1.3.3 矩阵求逆

        1.4 方阵的行列式

                1.4.1 二阶和三阶行列式

                1.4.2 行列式的定义

                1.4.3 行列式的计算

                1.4.4 克拉默法则

        1.5 矩阵分块运算

附录 1 Mathematica 中矩阵的定义和运算

重要知识点：

1、初等变换和初等矩阵：左行右列

2、矩阵分块运算：利用分块矩阵计算行列式

课后习题：

1.计算：

注：利用原旋转矩阵的几何意义，或者用归纳法 

方法一：几何意义

二维旋转矩阵有一个非常重要的性质，即它的k次方仍然是一个旋转矩阵，且对应的旋转角度是原始角度的k倍。具体地，我们可以利用角度的可加性来简化这个计算。

这样的话，我们就可以得到公式如下：

方法二：归纳法 

2. 证明：不存在n阶实方阵A，B，满足 AB-BA = .

3.计算下列矩阵的逆矩阵：

 

4. 设方阵 A 的逆矩阵

5. 设方阵 A 的伴随矩阵：

求 A。 

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 ；

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0；

行列式的性质

（1）行列互换（转置），行列式的值不变 ；

（2）两行（列）互换，行列式变号 ；

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式 ；

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和 ；

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变 ；

（6）两行成比例，行列式的值为0 ；

除了利用行列式的性质计算行列式,常用的计算行列式的方法还有:
(1)初等变换,可将矩阵化为上(下)三角形或上(下)三角阵;

(2)det(AB)=det(A)·det(B);
(3)展开定理;
(4)递推公式。

12.设A,B为n阶方阵，且I-AB可逆。证明：I-BA也可逆。

对于方阵A,如果存在同阶方阵B,使得AB=BA=I,则称A是可逆(非奇异)的,称B是A的逆矩阵,记为。

设B和C都是A的逆矩阵,则B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。故如果A可逆,那么其逆矩阵必唯一。

矩阵的加法和数乘满足下列运算性质:

• (1)加法交换律 A+B=B+A;
• (2)加法结合律(A+B)+C=A+(B+C);
• (3)有零矩阵 A+0=0+A=A;
• (4)有负矩阵 A+(-A)=(-A)+A=0;
• (5)数乘结合律 k(lA)=(kI)A;
• (6)数乘分配律 k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+IA
• (7)有数乘单位元1A=A.