Box2D中的距离计算

GDC 2010 Session：Physics for Programmers，Erin Catto：Computing Distance，pdf

Erin Catto是二维物理库Box2D的开发者

内容：1）点和基本形状的距离计算；2）点和复杂几何体的距离计算（GJK）；3）复杂几何体之间的距离计算

2D世界中距离的计算的几个重要的点：

1. 点-线段、点-三角形的距离计算依赖于：barycentric coordinate ，Voronoi region；
2. 点-多边形的距离计算依赖于点-线段和点-三角形
3. 多边形-多边形的距离计算可退化为点-多边形的距离计算

点-线段、点-三角形

点的重心坐标（barycentric coordinate）是线段或三角形顶点对该点的影响权重，计算出点-线段、点-三角形的barycentric coordinate

计算三角形的重心坐标：

平面上的所有点对线段、三角形的barycentric coordinate的值定义了线段、三角形的voronoi regions；

线段的voronoi region：

三角形的voronoi region：

用点的barycentric coordinate获得voronoi region，并获得与该点距离最短的顶点、边并判断是否在形内，从而获得线段或三角形上距离点的最近点，并计算距离

// closest point algorithm
input: A, B, C, Q 

compute uAB, vAB, uBC, vBC, uCA, vCA 
compute uABC, vABC, wABC

// Test vertex regions …
// Region A
 if (vAB <= 0 && uCA <= 0) 
     return A 
// Similar tests for Region B and C

// Test edge regions …
// Region AB
 if (uAB > 0 && vAB > 0 && wABC <= 0)
     return uAB * A + vAB * B   
// Similar for Regions BC and C

// Else interior region ABC 
assert(uABC > 0 && vABC > 0 && wABC > 0) 
return Q 

点-convex

simplex:

计算点-convex的距离即是找到最近的simplex（二维空间中即点、线段或三角形）上的最近点

GJK算法用于找到convex多边形上的最近点，由Gilbert, Johnson, and Keerthi共同发明；算法思路是不断找到当前simplex上的最近点，并根据search direction找到support point，使用support point构造更优的simplex

support point：给出点集和方向，在这个方向上最远的点是这个点集的support point

GJK算法伪代码

Input: polygon and point Q 
pick arbitrary initial simplex S 
loop 
    compute closest point P on S 
    cull non-contributing vertices from S 
    build vector d pointing from P to Q 
    add support point to S 
end

点-non convex

由于non convex顶点永远不会成为support point（任意方向上都有更远的点），。。。

convex-convex

GJK算法可以计算点-convex，可以通过将convex-convex转化为点-convex来计算

闵可夫斯基差（Minkowski difference）：

convex X和convex Y的minkowski difference的convex hull Z有两个特殊性质：

性质1：X-Y的距离等于原点O-Z的距离

性质2：Z在d方向上的support point永远来自于X、Y分别在-d、d方向上support point的差

计算X-Y的距离过程中，不需要真正将Minkowski difference的convex hull Z计算出来，只需要修改计算support point的函数即可