几何建模研究领域介绍(名词解释)

几何建模的研究范围比较宽，有点云数据的网格重建，网格简化、几何压缩、参数化、细分平滑、网格重建、分割、变形、编辑等诸多领域。这里对主要的领域进行了简单的介绍，给出部分经典文献，对于部分专业名词进行了解释。有错误的地方希望大家指出，更欢迎大家补充，我也会间或对这个贴进行更新。

 

1.　点云数据的网格重建(Surface reconstruction from point cloud data)

我们知道，三维扫描仪获得的初始数据都是些离散顶点的三维坐标，那么首先就需要对这些顶点进行处理，比如构造其间的拓扑连接关系，生成网格或参数曲面。

这一块的工作进行的较早，如牛人Hugues Hoppe 92年写的文章Surface reconstruction from unorganized points由于现在三维扫描仪一般都带了点云网格重建的功能，所以这一块的研究相对做的较少了。.

最近也有跳过网格重建这一步骤，直接进行基于点采样曲面的研究(Point-based surface)，避免加入拓扑结构所增大的信息量，引起的误差。个人感觉理论研究可以，实际应用还有待突破。

 

2.　网格简化（Simplification）

直接由扫描点云重构的网格，一般数据量太大，有几十到几百万的顶点，直接应用肯定不行，所以就要对其进行简化，如数字米开朗基罗工程。

这一块也很早就进行了研究，如上图就是牛人Michael Garland著名的边折叠算法，还有Hoppe的Progressive meshes，我觉得对于初学者来说，开始尝试编写这两个算法可以很好的入门（我当时就是）。

当然，随着几何数据越来越复杂，也有研究基于图像的简化方法，有很多物体的场景简化，最近也有不少进行这方面的研究。

 

3.　几何压缩（Compression）

Compression和Simplification不同，可以把几何压缩同图像处理中的压缩相类比，主要是为了减少三维数据的存储空间和传输带宽，采用类似编码等方法。

4. 　细分（Subdivision）平滑（Smoothing）

把这两个放在一起，可以通过增加顶点，使得三角网格看起来更平滑。细分还有一个好处，就是会使网格显示出一个层次的结构，便于很多其他的处理。不用细说，大家看图就明白了。

另外，我们还经常碰到一个词 fairing，意思是光顺，和Smoothing的意思接近

 

5.网格重建（Remeshing）

Remeshing是指输入一个网格，它的采样不规则，而生成一个规则拓扑结构的网格。

Remeshing的用途也很多了：如有限元分析就需要输入的网格采样比较均匀；生成规则的结构后，可以把信号处理中的方法移植过来，如小波；通过把不同网格Remeshing到相同的拓扑结构上，就可以方便进行曲面变形Morphing。关于Remeshing，推荐一篇不错的综述：

Pierre Alliez, Giuliana Ucelli, Craig Gotsman and Marco Attene. Recent Advances in Remeshing of Surfaces. Technical report, AIM@SHAPE Network of Excellence, 2005.

 

6. 参数化（Parameterization）

Remeshing中建立对应关系，就可以利用Parameterization来实现。所谓参数化，就是建立三维网格和其它域的一个一一对应关系，满足某种条件下的最优。如把网格映射到平面，使得失真较小，就可以应用于纹理映射。也可以把网格映射到球面，或构造的一个基网格上。

参数化可以应用于几何建模的很多其它领域，所以对它的研究也比较多。这里推荐看看牛人Michael S. Floater 2005的综述Surface parameterization: a tutorial and survey.

 

7. 分割(Segmentation)

实际上，由于曲面是很复杂的，所以对复杂网格的处理，一般先要对其进行分割。如亏格大于0的曲面，找不到到球面的一个同胚映射，所以对这种曲面就行球面参数化，就要先把它分割成几个部分，分别处理。

分割的算法也很多，但目前还没有很好的通用的算法，所以最近都可以看到很多分割的文章。我没有具体做过分割，但求过三角网格表面的近似测地线，有不少方法也是基于测地线来进行曲面分割的。

8. 变形(Deforming) 编辑(Editing) 识别

网格数据的控制点太多了，想要直接对其编辑是不可能的，那么如何才能降低控制的维度，方便交互控制。还有识别，核心问题都是需要降维。对于线性模型，有经典的ＰＣＡ，ＭＤＳ等方法，对于非线性模型，有流形学习等。

这块我也没怎么做过，只做个利用基于测地线的径向基函数(RBF)，控制网格随某些特征点的移动而变形。

9 微分几何（Differential Geometry）

想做好几何建模这一块的工作，离不开学习微风几何的知识。上述很多领域都会需要计算曲面表面的微分不变量，如切方向，法线，主方向，曲率，测地线等。想要获得网格上离散数值，那就要学学 Discrete differential-geometry 了。

微分几何初学建议看梅向明的那本，DDG可以看看这篇文章：Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder, and Alan H. Barr. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds.