蘑菇阵

题目解析

• 该题类似于走迷宫，蘑菇代表不能走通，但不同的是，迷宫可以向前后左右四个方向移动，但该题走的方式只能向右或者向下两个方向移动，注意：右边界处只能向一个方向移动，因此走不通路径的概率是不相等的。比如：M = 2 N = 3
• 1 2 3
• 4 5 6
• 在1时：既可向右走到2，也可向下走到4，因此从1-->2 和从1-->4的概率均为0.5
• 在2时：即可向右走到3，也可向下走到5，因此从2-->3和从2-->5的概率均为0.5
• 在3时：只能走到6，因此从3-->6概率为1
• 在4、5、6时，只能向右走，因此4-->5和5-->6的概率均为1。

通过以上分析，可以得到：

• 假设P(i, j)表示从起点到(i, j)不踩到蘑菇的概率，那么该位置一定是从(i-1, j)或者(i, j-1)处走过来的。而从(i-1, j)或者(i, j-1)到达(i, j)的概率是不等的，比如：如果i或者j在边界，只能向一个方向移动，此时走到(i, j)位置的概率为1，当i或者j不在边界时，走到(i,j)的概率分别为0.5，因此可得出：
• P(i,j) = P(i-1, j) * (i==M? 1 : 0.5)+ P(i, j-1) * (j==N? 1 : 0.5);
• 如果(i, j)为蘑菇时，表示不能走到该位置 

解题思路

1. 循环接受输入
2. 按照输入构造蘑菇地图(二维矩阵)，1代表蘑菇，0代表通路，因起点是从(1,1)开始，矩阵多给一个行和列
3. 构造用来保存走到(i,j)位置不遇到蘑菇的概率容器
4. 按照上述分析结论：遍历蘑菇地图，当遇到蘑菇时，将概率置为0，即不可能到达该位置
5. 按照要求输出：注意保留两位精度。

代码

/* 使用动态规划 */ 
#include<iostream> 
#include <iomanip>
#include<algorithm> 
#include<vector> 
using namespace std; 

int main()
{
	int n, m, k;

	while (cin >> n >> m >> k)
	{
		// 用来保存蘑菇地图    
		vector<vector<int> > table((n + 1), vector<int>(m + 1));

		// 构造蘑菇地图      

		int x, y;
		for (int i = 0; i < k; i++)
		{
			cin >> x >> y;
			table[x][y] = 1;
		}

		//P[i][j]表示不碰到蘑菇走到i，j的概率 

		vector<vector<double> > P((n + 1), vector<double>(m + 1));
		P[1][1] = 1.0;// 起点概率为0

		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{

			for (int j = 1; j <= m; j++)
			{
				if (!(i == 1 && j == 1))
				{
					P[i][j] = P[i - 1][j] * (j == m ? 1 : 0.5) + P[i][j - 1] * (i == n ? 1 : 0.5);
					//边界的时候，概率为1                 
					if (table[i][j] == 1) P[i][j] = 0;
					//如果该点有蘑 菇，概率置为0      			
				}
			}
		}
		cout << fixed << setprecision(2) << P[n][m] << endl;
	}
}