合取范式与消解算法在逻辑推理中的应用-优快云博客

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定义：

命题变项及其否定的统称为文字。不含任何文字的简单析取式为空简单析取式，记作 $\lambda$ 。规定空简单析取式是不可满足的（因为对于任何赋值，空简单析取式中都没有文字为真），因而，含有简单析取式的合取范式是不可满足的。

下面用S表示合取范式，C表示简单析取式，l表示文字，设a是关于S中命题变项的赋值，用a(l),a(C),a(S)分别表示在a下l，C，S的赋值。设S和S’是两个合取范式，用S $\approx$ S’表示S是可满足的当且仅当S’是可满足的。l'为非l。

定理：C1∧C2≈Res(C1,C2)

证 (1)当C1∧C2可满足，则(C1'Vl)∧(C2'V¬l)可满足。由于Res(C1,C2)=C1'∨C2'，而l与¬l中一定有一者为假，故前者可满足，后者也可满足。

（2）当Res(C1,C2)可满足是时，讲将l的真赋值给C1',C2'中成假项C1∧C2便可满足。

综上所述，两者的可满足行性质相同，故定理成立。

否证

设S为一个合取范式，C1,C2,...,Cn是一个简单析取式序列，如果对于每一个i(1<=i<=n),Ci是S中的一个简单析取式或者Ci是它之前的某两个简单析取式Cj,Ck(1<=j<k<i)的消解结果，则称此序列是由S导出的C的消解序列。当Cn为空简单析取式，则称此序列是S的一个否证。

接下来介绍二个定理：

一、如果合取范式S有否证，则S不是可满足的。如果合取范式S不是可满足的，S一定有否证。（消解的完全性）

二、含有简单析取式l的合取范式S，从S中删去所有包含l的简单析取式，再从剩下的简单析取式中删去l'，把这样得到的合取范式记作S'，则S’ $\approx$ S

定理的证明运用数学归纳法，留给读者证明。

下面给出判断合式公式是否是可满足的消解算法：

消解算法

消解算法：
输入：合式公式A
输出：若A是可满足的则回答yes，否则回答no。
1.求A的合取范式S
2.令S0,S2为不含任何元素的几何，S1为S的所有简单析取式组成的集合
3.对S0中的每一个简单析取式C1与S1中的每一个简单析取式C2
4.    如果C1,C2可以消解，则
5.        计算C=Res(C1,C2)
6.        如果C为空简单析取式，则
7.            输出no，计算结束
8.        如果S0,S1都不包含C，则
9.            把C加入S2
10.对S1中的为一对子句C1,C2
11.    如果C1,C2可以消解，则
12.        计算C=Res(C1,C2)
13.        如果C为空简单析取式，则
14.            输出no，计算结束
15.        如果S0,S1都不包含C，则
16.           把C加入S2
17.如果S2中没有任何元素，则
18.    输出yes，计算结束
19.否则把S1加入S0，令S1等于S2,清空S2，返回3.