扩展、统计线性化和无迹RTS平滑器

本文介绍基于线性化、统计线性化和无迹变换的RTS平滑器，分别对应EKF、SLF和ULF。
这些平滑器用于对非线性状态空间模型贝叶斯解的高斯逼近。

扩展RTS平滑器（ERTSS）

ERTSS对平滑分布的高斯逼近表达式为：由下式叠加模型：$$\begin{gathered} {\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{\mathbf{k}-1})+{\mathbf{q}}_{\mathbf{k}-1} \\ {\mathbf{y}}_{\mathbf{k}}=\mathbf{h}({\mathbf{x}}_{\mathbf{k}})+\mathbf{r} \end{gathered}$$扩展的RTS平滑算法如下。

扩展RTS平滑器

式中，雅可比矩阵 ${\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}({\mathbf{m}}_{\mathbf{k}})$ 为 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{m}}_{\mathbf{k}}$ 处的值。
上式展示的为由$\mathbf{k}$ 时刻到 $\mathbf{k}+1$ 时刻到平滑分布的递推过程。由于在最后 $\mathbf{T}$ 时刻的平滑分布于滤波分布一致。即：
$$\begin{gathered} {\mathbf{m}}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{s}}={\mathbf{m}}_{\mathbf{T}} \\ {\mathbf{P}}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{s}} \end{gathered}$$