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量子通信资源交易与动态容量定理解析
1. 引言
在量子通信领域，资源的有效利用和通信速率的提升是关键问题。量子动态容量定理提供了一种在有噪声量子信道中，结合无噪声的经典通信、量子通信和共享纠缠资源时，对可靠通信速率进行界定的方法。本文将深入探讨量子动态容量定理的相关内容，包括其基本概念、特殊情况以及证明过程。
2. 基本概念
-
状态形式
：给定状态具有如下形式
[
\sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes N {A’^n \to B^n}(\rho_{x}^{AA’^n})
]
其中 (A \equiv RTB A_2 S_A) 且 (X \equiv ML)。Bob 应用解码信道 (D_{B^n A_2 T B L \to B_1 S_B \hat{M}}) 输出量子系统 (B_1)、量子系统 (S_B) 和经典寄存器 (\hat{M})。最终状态用 (\omega’) 表示。对于误差 (\varepsilon \in (0, 1)) 的协议，满足条件
[
\frac{1}{2} \left\lVert \Phi_{M \hat{M}} \otimes \Psi_{R B_1} \otimes \Phi_{S_A S_B} - \omega’_{M B_1 S_B \hat{M} S_A R} \right\rVert_1 \leq \varepsilon
]
这意味着 Alice 和 Bob 在 (M) 和 (\hat{M}) 之间建立了最大经典相关性，在 (S_A) 和 (S_B) 之间建立了最大纠缠。同时，该条件也表明编码方案保留了与参考系统 (R) 的纠缠。 - 净速率三元组 ：协议的净速率三元组为 ((C_{out} - C_{in}, Q_{out} - Q_{in}, E_{out} - E_{in}))。若对应速率为正，则协议生成资源；若为负，则消耗资源。这种形式的协议称为 ((n, C_{out} - C_{in}, Q_{out} - Q_{in}, E_{out} - E_{in}, \varepsilon)) 协议。
- 可实现速率三元组 ：若对于所有 (\delta > 0)，(\varepsilon \in (0, 1)) 和足够大的 (n)，存在一系列 ((n, C - \delta, Q - \delta, E - \delta, \varepsilon)) 协议，则称速率三元组 ((C, Q, E)) 对于信道 (N) 是可实现的。量子动态容量区域 (C_{CQE}(N)) 等于所有可实现速率的并集。
3. 量子动态容量定理
-
定理表述
：量子信道 (N) 的动态容量区域 (C_{CQE}(N)) 由下式给出
[
C_{CQE}(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_{CQE}^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
其中上划线表示集合的闭包。区域 (C_{CQE}^{(1)}(N)) 等于依赖于状态的区域 (C_{CQE, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集
[
C_{CQE}^{(1)}(N) \equiv \bigcup_{\sigma} C_{CQE, \sigma}^{(1)}(N)
] -
状态依赖区域
：状态依赖区域 (C_{CQE, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足以下条件的速率 (C)、(Q) 和 (E) 的集合
- (C + 2Q \leq I(AX; B)_{\sigma})
- (Q + E \leq I(A \rangle BX)_{\sigma})
-
(C + Q + E \leq I(X; B)
{\sigma} + I(A \rangle BX)
{\sigma})
这些熵量是相对于经典 - 量子状态 (\sigma_{XAB}) 而言的，其中
[
\sigma_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\varphi_{x}^{AA’})
]
且状态 (\varphi_{x}^{AA’}) 是纯态。在进行正则化时，应考虑 (A’^k) 上的状态而非 (A’)。
4. 特殊情况
该容量定理存在五种特殊情况，分别对应不同的通信场景：
| 场景 | 描述 | 可实现速率区域位置 |
| — | — | — |
| 经典通信（(C)） | 无纠缠辅助和量子通信时的经典通信 | ((C, 0, 0)) 射线，从原点延伸 |
| 量子通信（(Q)） | 无纠缠辅助和经典通信时的量子通信 | ((0, Q, 0)) 射线，从原点延伸 |
| 纠缠辅助量子通信（(QE)） | 无经典通信时的纠缠辅助量子通信 | ((0, Q, -E)) 四分之一平面 |
| 经典增强量子通信（(CQ)） | 无纠缠辅助时的经典增强量子通信 | ((C, Q, 0)) 四分之一平面 |
| 纠缠辅助经典通信（(CE)） | 无量子通信时的纠缠辅助经典通信 | ((C, 0, -E)) 四分之一平面 |
以下是各场景对应的定理：
-
经典容量
：量子信道 (N) 的经典容量区域 (C_C(N)) 由下式给出
[
C_C(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_C^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
区域 (C_C^{(1)}(N)) 是状态依赖区域 (C_{C, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集，其中 (C_{C, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足 (C \leq I(X; B)
{\sigma} + I(A \rangle BX)
{\sigma}) 的 (C \geq 0) 的集合。
-
量子容量
：量子信道 (N) 的量子容量区域 (C_Q(N)) 为
[
C_Q(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_Q^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
区域 (C_Q^{(1)}(N)) 是状态依赖区域 (C_{Q, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集，其中 (C_{Q, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足 (Q \leq I(A \rangle BX)
{\sigma}) 的 (Q \geq 0) 的集合。
-
纠缠辅助量子容量
：量子信道 (N) 的纠缠辅助量子容量区域 (C
{QE}(N)) 由下式给出
[
C_{QE}(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_{QE}^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
区域 (C_{QE}^{(1)}(N)) 是状态依赖区域 (C_{QE, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集，其中 (C_{QE, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足 (2Q \leq I(AX; B)
{\sigma}) 和 (Q \leq I(A \rangle BX)
{\sigma} + |E|) 的 (Q, E \geq 0) 的集合。
-
经典增强量子容量
：量子信道 (N) 的经典增强量子容量区域 (C_{CQ}(N)) 为
[
C_{CQ}(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_{CQ}^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
区域 (C_{CQ}^{(1)}(N)) 是状态依赖区域 (C_{CQ, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集，其中 (C_{CQ, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足 (C + Q \leq I(X; B)
{\sigma} + I(A \rangle BX)
{\sigma}) 和 (Q \leq I(A \rangle BX)
{\sigma}) 的 (C, Q \geq 0) 的集合。
-
有限纠缠下的纠缠辅助经典容量
：量子信道 (N) 的纠缠辅助经典容量区域 (C
{CE}(N)) 是
[
C_{CE}(N) = \overline{\bigcup_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} C_{CE}^{(1)}(N^{\otimes k})}
]
区域 (C_{CE}^{(1)}(N)) 是状态依赖区域 (C_{CE, \sigma}^{(1)}(N)) 的并集，其中 (C_{CE, \sigma}^{(1)}(N)) 是所有满足 (C \leq I(AX; B)
{\sigma}) 和 (C \leq I(X; B)
{\sigma} + I(A \rangle BX)_{\sigma} + |E|) 的 (C, E \geq 0) 的集合。
5. 直接编码定理
-
单位资源可实现区域
：Alice 和 Bob 使用纠缠分发、 teleportation 和超密编码协议所能达到的区域是这些协议对应速率三元组的锥
[
{ \alpha (0, -1, 1) + \beta (2, -1, -1) + \gamma (-2, 1, -1) : \alpha, \beta, \gamma \geq 0 }
]
任何速率三元组 ((C, Q, E)) 可以用矩阵方程表示
[
\begin{bmatrix}
C \
Q \
E
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -2 \
-1 & -1 & 1 \
1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha \
\beta \
\gamma
\end{bmatrix}
]
该矩阵的逆为
[
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} & -1 & 0 \
0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
]
通过对矩阵方程求逆并应用约束 (\alpha, \beta, \gamma \geq 0)，得到单位资源可实现区域的不等式：- (C + 2Q \leq 0)
- (Q + E \leq 0)
- (C + Q + E \leq 0)
-
结合协议
：结合推论 22.5.2 中的纠缠辅助经典和量子信息通信协议，对于信道 (N_{A’ \to B})，可以实现以下速率三元组
[
\left( I(X; B) {\sigma}, \frac{1}{2} I(A; B|X) {\sigma}, -\frac{1}{2} I(A; E|X) {\sigma} \right)
]
对于任何形式为
[
\sigma {XABE} \equiv \sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes U_N^{A’ \to BE}(\varphi {x}^{AA’})
]
的状态，其中 (U_N^{A’ \to BE}) 是量子信道 (N_{A’ \to B}) 的等距扩展。可实现速率区域是单位资源可实现区域的平移
[
\begin{bmatrix}
C \
Q \
E
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -2 \
-1 & -1 & 1 \
1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha \
\beta \
\gamma
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
I(X; B) {\sigma} \
\frac{1}{2} I(A; B|X) {\sigma} \
-\frac{1}{2} I(A; E|X)_{\sigma}
\end{bmatrix}
]
通过应用矩阵逆和相关恒等式，得到与定理 25.2.1 中状态依赖区域对应的不等式。
以下是直接编码定理的流程：
graph TD;
A[开始] --> B[确定单位资源可实现区域];
B --> C[结合推论协议得到新速率三元组];
C --> D[计算可实现速率区域的平移];
D --> E[应用矩阵逆和恒等式得到不等式];
E --> F[结束];
6. 逆定理
- 证明思路 ：提供了一种催化的、信息论的逆证明，表明公式 (25.6) 给出了动态容量区域的多字母表征。采用催化方法，考虑最一般的协议，该协议在使用有噪声量子信道的同时消耗和生成经典通信、量子通信和纠缠资源。
-
证明过程
：
- 证明不等式 (25.8) ：通过一系列不等式推导，利用量子互信息的性质、AFW 不等式和量子数据处理不等式，证明 (n(C_{out} + 2Q_{out}) \leq I(AX; B^n) {\omega} + n(C {in} + 2Q_{in}) + n\delta’)。
- 证明不等式 (25.9) ：同样利用相干信息的性质和相关不等式，证明 (n(Q_{out} + E_{out}) \leq I(A \rangle B^n X) {\omega} + n(Q {in} + E_{in}) + n\delta’)。
- 证明不等式 (25.10) ：通过对互信息和相干信息的计算和不等式推导，证明 (n(C_{out} + Q_{out} + E_{out}) \leq I(X; B^n) {\omega} + I(A \rangle B^n X) {\omega} + n(C_{in} + Q_{in} + E_{in}) + n\delta’)。
- 纯态系综的充分性 ：证明在逆定理的证明中，考虑纯态系综就足够了。对于混合态系综，通过谱分解将其表示为纯态的组合，并引入经典变量 (Y)。通过量子数据处理不等式，证明相关熵量在考虑纯态系综时只会改善，因此只需要考虑纯态系综。
以下是逆定理证明的流程：
graph TD;
A[开始] --> B[证明不等式 (25.8)];
B --> C[证明不等式 (25.9)];
C --> D[证明不等式 (25.10)];
D --> E[证明纯态系综的充分性];
E --> F[结束];
量子通信资源交易与动态容量定理解析
7. 量子动态容量公式
-
公式定义
-
量子信道 (N) 的量子动态容量公式定义为：
[D_{\vec{\lambda}}(N) \equiv \max_{\sigma} \lambda_1 I(AX; B) {\sigma} + \lambda_2 I(A \rangle BX) {\sigma} + \lambda_3 [I(X; B) {\sigma} + I(A \rangle BX) {\sigma}]]
其中 (\sigma) 是形式为 (\sigma_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\varphi_{x}^{AA’})) 的状态，(\vec{\lambda} \equiv (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)) 是拉格朗日乘子向量，且 (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \geq 0)。 -
正则化量子动态容量公式定义为：
[D_{\vec{\lambda}}^{reg}(N) \equiv \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} D_{\vec{\lambda}}(N^{\otimes k})]
-
量子信道 (N) 的量子动态容量公式定义为：
-
公式性质
- 若量子动态容量公式对于信道 (N) 和任意其他信道 (M) 是可加的，即 (D_{\vec{\lambda}}(N \otimes M) = D_{\vec{\lambda}}(N) + D_{\vec{\lambda}}(M))，则正则化量子动态容量公式等于量子动态容量公式，即 (D_{\vec{\lambda}}^{reg}(N) = D_{\vec{\lambda}}(N))。证明采用归纳法，当 (n = 1) 时，基础情况显然成立。假设对于 (n) 成立，即 (D_{\vec{\lambda}}(N^{\otimes n}) = nD_{\vec{\lambda}}(N))，则 (D_{\vec{\lambda}}(N^{\otimes n + 1}) = D_{\vec{\lambda}}(N \otimes N^{\otimes n}) = D_{\vec{\lambda}}(N) + D_{\vec{\lambda}}(N^{\otimes n}) = D_{\vec{\lambda}}(N) + nD_{\vec{\lambda}}(N))。
8. 单字母化与帕累托最优
-
单字母化的意义
：单字母化的量子动态容量公式意味着计算动态容量区域的帕累托最优权衡表面只需要对单个信道副本进行优化。证明采用优化理论的思想，将计算单副本容量区域边界的任务表述为优化问题：
[P^*(\vec{w}) \equiv \sup_{\vec{R}, E} \vec{w} \cdot \vec{R}]
约束条件为：- (C + 2Q \leq I(AX; B)_{\sigma})
- (Q + E \leq I(A \rangle BX)_{\sigma})
-
(C + Q + E \leq I(X; B)
{\sigma} + I(A \rangle BX)
{\sigma})
其中 (\vec{w} \equiv (w_C, w_Q, w_E) \in \mathbb{R}^3) 是权重向量，(\vec{R} \equiv (C, Q, E)) 是速率向量，(E \equiv {p_X(x), \varphi_{x}^{AA’}}) 是系综，(\sigma_{XAB}) 是形式为 (\sigma_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x) |x\rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\varphi_{x}^{AA’})) 的状态。
- 拉格朗日对偶 ：引入拉格朗日函数 (L(\vec{w}, \vec{R}, E, \vec{\lambda})) 并定义拉格朗日对偶函数 (g(\vec{w}, E, \vec{\lambda}))。通过对拉格朗日函数的优化和对偶函数的计算，得到强对偶性成立，即 (P^ (\vec{w}, E) = D^ (\vec{w}, E))。这表明量子动态容量公式在计算量子动态容量区域中起着关键作用。若公式是可加的，则计算帕累托最优权衡表面只需要对单个信道副本进行优化。
9. 量子动态容量公式的特殊情况
-
几何解释
：动态容量区域可以看作是三面单位资源容量区域沿着纠缠辅助经典和量子通信的权衡曲线的平移。不同的权重向量 ((w_C, w_Q, w_E)) 对应着在 ((C, Q, E)) 空间中切割的一组平行平面，目标是找到与动态容量区域的权衡表面相交的支持平面。考虑三种特殊平面：
- 包含超密编码和 teleportation 向量的平面，法向量为 ((1, 2, 0))。
- 包含 teleportation 和纠缠分发向量的平面，法向量为 ((0, 1, 1))。
- 包含超密编码和纠缠分发向量的平面，法向量为 ((1, 1, 1))。
-
具体证明
- 纠缠辅助经典容量 ：当 (\vec{\lambda}^* = (1, 0, 0)) 时，量子动态容量公式等价于纠缠辅助容量公式。证明分两步，首先证明 (\max_{\sigma} I(AX; B) {\sigma} \geq \max {\varphi_{AA’}} I(A; B) {\rho})，因为状态 (\sigma {XAA’}) 具有所需形式，可选择合适的 (p_X(x)) 和 (\varphi_{x}^{AA’}) 使不等式成立。然后证明 (\max_{\sigma} I(AX; B) {\sigma} \leq \max {\varphi_{AA’}} I(A; B) {\rho})，通过对状态 (\sigma {XAA’}) 进行纯化并利用量子数据处理得到。
- 量子容量 ：当 (\vec{\lambda}^* = (0, 1, 0)) 时，量子动态容量公式等于 LSD 量子容量公式。证明过程中，一方面 (\max_{\sigma} I(A \rangle BX) \geq \max_{\varphi_{AA’}} I(A \rangle B))，因为可以选择合适的 (p_X(x)) 和 (\varphi_{x}^{AA’})；另一方面，(\max_{\sigma} I(A \rangle BX) \leq \max_{\varphi_{AA’}} I(A \rangle B))，因为 (I(A \rangle BX) = \sum_{x} p_X(x) I(A \rangle B) {N(\varphi {x})})，最大值不小于平均值。
- 经典容量 ：当 (\vec{\lambda}^* = (0, 0, 1)) 时，量子动态容量公式等于 HSW 经典容量公式。证明时，先证明 (\max_{\sigma} [I(A \rangle BX) {\sigma} + I(X; B) {\sigma}] \geq \max_{{p_X(x), \psi_x}} I(X; B))，通过选择使 (I(X; B)) 最大的纯态系综且注意到 (I(A \rangle BX) {\sigma}) 对于纯态系综为零。然后证明 (\max {\sigma} [I(A \rangle BX) {\sigma} + I(X; B) {\sigma}] \leq \max_{{p_X(x), \psi_x}} I(X; B))，通过对状态 (\sigma_{XABE}) 的 (A) 系统进行完全投影测量得到状态 (\omega_{XY BE})，并利用熵的性质进行推导。
10. 总结
量子动态容量定理为有噪声量子信道中的通信提供了全面的速率界定方法。通过直接编码定理和逆定理的证明，确定了可实现的速率区域。量子动态容量公式及其特殊情况涵盖了多种重要的容量公式，如纠缠辅助经典容量、量子容量和经典容量。单字母化的量子动态容量公式在计算帕累托最优权衡表面时具有重要意义，若公式可加，则只需对单个信道副本进行优化。这些结果为量子通信系统的设计和优化提供了理论基础。
以下是量子动态容量公式特殊情况的总结表格：
| 特殊情况 | 权重向量 | 拉格朗日乘子 | 对应容量公式 |
| — | — | — | — |
| 纠缠辅助经典容量 | ((1, 2, 0)) | ((1, 0, 0)) | 纠缠辅助容量公式 |
| 量子容量 | ((0, 1, 1)) | ((0, 1, 0)) | LSD 量子容量公式 |
| 经典容量 | ((1, 1, 1)) | ((0, 0, 1)) | HSW 经典容量公式 |
以下是整个量子动态容量定理相关内容的总结流程图：
graph TD;
A[基本概念] --> B[量子动态容量定理];
B --> C[特殊情况];
B --> D[直接编码定理];
B --> E[逆定理];
E --> F[纯态系综充分性];
B --> G[量子动态容量公式];
G --> H[单字母化与帕累托最优];
G --> I[特殊情况];
I --> J[纠缠辅助经典容量];
I --> K[量子容量];
I --> L[经典容量];
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