51、基于噪声资源的相干通信及相关协议研究

基于噪声资源的相干通信及相关协议研究

1. 相干反馈等距信道下的资源不等式

在量子通信中，当比较不同协议的纠缠消耗率时，我们发现一些有趣的现象。对于相干反馈等距信道 (U_N^{A’ \to BE})，若 Alice 能获取该信道的环境 (E)，可以实现如下资源不等式：
(\langle U_N^{A’ \to BE} \rangle \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [q \to q] + \frac{1}{2}I(E; B) {\phi} [qq])

此协议是相干隐形传态的推广，当 (U_N^{A’ \to BE}) 等效于两个相干信道时，它就退化为相干隐形传态。

2. 量子通信

通过将定理 22.1.1 中的协议与纠缠分发相结合，可得到量子通信协议。该协议对纠缠进行催化式利用，即协议开始时利用 Alice 和 Bob 共享的一定量纠缠，结束时又生成相同量的纠缠，净纠缠消耗率为零。量子通信的速率与量子信道编码定理中的速率相同。

2.1 量子通信的推论

相干信息 (Q(N)) 是量子信道 (N) 上量子通信的可实现速率，即满足资源不等式：
(\langle N \rangle \geq Q(N) [q \to q])
其中 (Q(N) \equiv \max_{\phi} I(A \rangle B) {\rho})，(\rho {AB} \equiv N_{A’ \to B}(\phi_{AA’}))。

2.2 证明过程

将纠缠辅助量子通信协议与速率为 (\frac{1}{2}I(A; E) {\rho}) 的纠缠分发相结合，得到以下资源不等式：
(\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E) {\rho} [qq] \geq \frac{1}{2} [I(A; B) {\rho} - I(A; E) {\rho}] [q \to q] + \frac{1}{2}I(A; E) {\rho} [q \to q])
(\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E) {\rho} [qq] \geq \frac{1}{2} [I(A; B) {\rho} - I(A; E) {\rho}] [q \to q] + \frac{1}{2}I(A; E) {\rho} [qq])
经过资源抵消后，由于 (I(A \rangle B) {\rho} = \frac{1}{2} [I(A; B) {\rho} - I(A; E) {\rho}])，可得：
(\langle N \rangle \geq I(A \rangle B)_{\rho} [q \to q])

3. 噪声超密编码

超密编码的资源不等式为 ([q \to q] + [qq] \geq 2 [c \to c])。将其推广到噪声环境有两种方式：一是用噪声量子信道替代无噪声量子比特信道；二是让纠缠为噪声态，同时保持量子信道无噪声。后一种方式得到的协议称为噪声超密编码。

3.1 噪声超密编码定理

对于共享量子态 (\rho_{AB})，存在可实现的量子辅助经典通信协议，满足资源不等式：
(\langle \rho_{AB} \rangle + H(A) {\rho} [q \to q] \geq I(A; B) {\rho} [c \to c])

3.2 证明步骤

1. 考虑态 (\rho_{AB}) 的纯化态 (|\phi \rangle_{ABR})，它由等距变换 (U_N^{A’ \to BR}) 作用于纯态 (|\phi \rangle_{AA’}) 得到。
2. 对 (|\phi \rangle^{\otimes n} {AA’}) 进行类型分解：
   (|\phi \rangle^{\otimes n} {AA’} = \sum_{t} p(t)|\Phi_t \rangle_{A^n A’^n})
   (|\phi \rangle^{\otimes n} {ABR} = \sum {t} p(t)|\Phi_t \rangle_{A^n}|B^n R^n})
3. Alice 随机选择酉算子 (U_{A^n}(s))，并根据消息 (m) 选择向量 (s(m))，得到量子辅助码字 (U_{A^n}(s(m))\rho_{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s(m)))。
4. 选择消息子空间投影算子和总子空间投影算子：
   (U_{A^n}(s)\Pi_{\rho, \delta}^{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s))
   (\Pi_{\rho, \delta}^{A^n} \otimes \Pi_{\rho, \delta}^{B^n})
5. 满足包装引理的四个条件：
   (\text{Tr} \left[ \left( \Pi_{\rho, \delta}^{A^n} \otimes \Pi_{\rho, \delta}^{B^n} \right) \left( U_{A^n}(s)\rho_{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s) \right) \right] \geq 1 - \varepsilon)
   (\text{Tr} \left[ \left( U_{A^n}(s)\Pi_{\rho, \delta}^{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s) \right) \left( U_{A^n}(s)\rho_{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s) \right) \right] \geq 1 - \varepsilon)
   (\text{Tr} \left[ U_{A^n}(s)\Pi_{\rho, \delta}^{A^n B^n}U_{A^n}^{\dagger}(s) \right] \leq 2^{n[H(AB) {\rho} + c\delta]})
   (\left( \Pi {\rho, \delta}^{A^n} \otimes \Pi_{\rho, \delta}^{B^n} \right) \rho_{A^n B^n} \left( \Pi_{\rho, \delta}^{A^n} \otimes \Pi_{\rho, \delta}^{B^n} \right) \leq 2^{-n[H(A) {\rho} + H(B) {\rho} - \eta(n, \delta) - c\delta]} \left( \Pi_{\rho, \delta}^{A^n} \otimes \Pi_{\rho, \delta}^{B^n} \right))
6. 根据包装引理的去随机化版本，存在码和 POVM 能以任意低的最大错误概率检测码字。
7. 选择消息集大小 (|M| = 2^{n[I(A; B) - \eta(n, \delta) - 3c\delta]})，可得经典通信速率为 (I(A; B)_{\rho} - \eta(n, \delta) - 3c\delta)，最大错误概率有界。

2.3 协议总结

1. Alice 对其系统 (A^n) 进行典型子空间测量，将系统大小压缩到约 (nH(A)_{\rho}) 量子比特。
2. 若 Alice 要发送消息 (m)，则对其态应用酉算子 (U_{A^n}(s(m)))。
3. Alice 通过无噪声量子比特信道将量子比特发送给 Bob。
4. Bob 进行解压缩等距变换，然后执行解码 POVM 确定消息 (m)。

以下是噪声超密编码协议的 mermaid 流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(Alice 进行典型子空间测量):::process
    B --> C{是否发送消息 m}:::decision
    C -- 是 --> D(Alice 应用酉算子 U(s(m))):::process
    C -- 否 --> E(等待消息):::process
    D --> F(Alice 压缩系统并发送量子比特):::process
    F --> G(Bob 接收量子比特):::process
    G --> H(Bob 进行解压缩等距变换):::process
    H --> I(Bob 执行解码 POVM 确定消息 m):::process
    I --> J([结束]):::startend
    E --> C

4. 态转移

可以构建噪声超密编码协议的相干版本，即相干态转移协议，它能实现额外的任务：将 Alice 的态 (\rho^{\otimes n}_{AB}) 转移给 Bob。

4.1 相干态转移定理

对于态 (\rho_{AB})，存在可实现的相干态转移协议，满足资源不等式：
(\langle W_{S \to AB} : \rho_S \rangle + H(A) {\rho} [q \to q] \geq I(A; B) {\rho} [q \to qq] + \langle \text{id}_{S \to \hat{B}B} : \rho_S \rangle)

4.2 证明过程

1. Alice 开始时拥有与参考系统 (R_1) 共享的态 (|\psi \rangle_{R_1 A_1})。
2. Alice 将 (|\psi \rangle_{R_1 A_1}) 附加到 (|\phi \rangle_{A^n B^n R^n} \equiv |\phi \rangle^{\otimes n}_{ABR}) 上，并对其系统 (A^n) 进行典型子空间测量。
3. Alice 对系统 (A_1 A^n) 应用受控酉算子：
   (\sum_{m} |m \rangle \langle m| {A_1} \otimes U {A^n}(s(m)))
4. Alice 压缩 (A^n) 系统并通过无噪声量子比特信道发送给 Bob。
5. Bob 解压缩并进行相干温和测量：
   (\sum_{m} \sqrt{\Lambda_m^{\hat{B}^n B^n}} \otimes |m \rangle_{B_1})
6. Bob 最后应用受控酉算子：
   (\sum_{m} |m \rangle \langle m| {B_1} \otimes U {\hat{B}^n}^{\dagger}(s(m)))

4.3 相关推论

4.3.1 量子辅助态转移

(\langle W_{S \to AB} : \rho_S \rangle + \frac{1}{2}I(A; R) {\phi} [q \to q] \geq \frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [qq] + \langle \text{id}_{S \to \hat{B}B} : \rho_S \rangle)

4.3.2 经典辅助态转移

(\langle W_{S \to AB} : \rho_S \rangle + I(A; R) {\phi} [c \to c] \geq I(A \rangle B) {\phi} [qq] + \langle \text{id}_{S \to \hat{B}B} : \rho_S \rangle)

这些协议为相干信息提供了很好的操作解释：当相干信息为正时，协议结束时 Alice 和 Bob 共享该速率的纠缠；当相干信息为负时，态转移过程需要消耗一定速率的纠缠。

以下是相干态转移协议的步骤列表：
1. Alice 准备初始态 (|\psi \rangle_{R_1 A_1}) 并附加到 (|\phi \rangle_{A^n B^n R^n}) 上。
2. 进行典型子空间测量。
3. 应用受控酉算子。
4. 压缩并发送系统。
5. Bob 接收并解压缩。
6. 进行相干温和测量。
7. 应用受控酉算子完成态转移。

5. 量子互信息的双重角色

纠缠辅助量子通信和量子辅助态转移的资源不等式非常相似，它们都包含噪声资源，且消耗无噪声量子资源来生成另一种无噪声量子资源，这两种协议通过源 - 信道对偶性相关联。同时，两种协议消耗的无噪声量子资源速率都等于系统 (A) 与不可访问环境之间量子互信息的一半，量子互信息既量化了打破系统 (A) 与环境之间相关性所需的量子相干性，也量化了两个系统之间可建立的量子相关性。

以下是相关协议对比表格：
| 协议 | 噪声资源 | 消耗的无噪声资源 | 生成的无噪声资源 |
| — | — | — | — |
| 纠缠辅助量子通信 | 量子信道 (N) | (\frac{1}{2}I(A; E) {\rho} [qq]) | (I(A \rangle B) {\rho} [q \to q]) |
| 量子辅助态转移 | 共享态 (\rho_{AB}) | (\frac{1}{2}I(A; R) {\phi} [q \to q]) | (\frac{1}{2}I(A; B) {\phi} [qq]) |

6. 权衡编码

在量子通信中，当面临纠缠资源有限的情况时，权衡编码是一种有效的策略。下面将详细介绍相关内容。

6.1 经典通信与有限纠缠

在纠缠资源有限的情况下，为了实现经典通信的最优速率，提出了 CE 权衡编码协议。

6.1.1 CE 权衡编码定理

对于量子信道 (N_{A’ \to B})，存在可实现的纠缠辅助经典通信协议，满足资源不等式：
(\langle N \rangle + H(A|X) {\rho} [qq] \geq I(AX; B) {\rho} [c \to c])
其中，(\rho_{XAB}) 是如下形式的态：
(\rho_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x \rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\phi_x^{AA’}))
且态 (\phi_x^{AA’}) 为纯态。

6.1.2 证明过程

该证明结合了 HSW 编码定理和纠缠辅助经典容量定理的直接部分。具体步骤如下：
1. HSW 码的选择 ：Alice 和 Bob 使用针对信道 (N_{A’ \to B}) 的常组合 HSW 码，该码有大约 (2^{nI(X; B) {\rho}}) 个量子码字。每个经典码字 (x^n(m)) 从典型类型类中选取，其经验分布 (t(x)) 满足 (\max_x |t(x) - p_X(x)| \leq \delta)。
2. 码字的排列与纯化 ：对经典码字进行排列，使其按字母表顺序排列。同时，对每个量子码字 (\rho {x^n(m)}) 进行纯化，得到 (\phi_{x^n(m)}^{A^n A’^n})。
3. 纠缠辅助经典码的应用 ：对于每个字母 (a_i)，存在纠缠辅助经典码，有大约 (2^{n_i I(A; B) {N(\phi {a_i})}}) 个纠缠辅助量子码字，每个码消耗约 (n_i H(A) {\phi {a_i}}) ebits。
4. 编码与传输 ：Alice 根据标准经典序列排列态，应用酉算子进行编码，然后通过信道将系统 (A’^n) 发送给 Bob。
5. 解码过程 ：Bob 先进行 HSW 测量确定消息 (m)，然后对每个纠缠辅助经典码进行集体测量以解码消息 (l_i)。

6.1.3 通信速率分析

根据量子互信息的链式法则，(I(AX; B) {\rho} = I(X; B) {\rho} + I(A; B|X) {\rho})。Bob 先解码 HSW 量子码字实现速率 (I(X; B) {\rho})，再对 (|X|) 个纠缠辅助经典码进行解码，实现总速率 (I(A; B|X) {\rho})，从而达到总经典通信速率 (I(AX; B) {\rho})。

以下是 CE 权衡编码协议的 mermaid 流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(选择 HSW 码):::process
    B --> C(排列码字并纯化):::process
    C --> D(应用纠缠辅助经典码):::process
    D --> E(Alice 编码并发送系统):::process
    E --> F(Bob 接收系统):::process
    F --> G(Bob 进行 HSW 测量):::process
    G --> H{是否确定消息 m}:::decision
    H -- 是 --> I(Bob 对纠缠辅助码解码):::process
    H -- 否 --> G
    I --> J([结束]):::startend

6.2 权衡编码包含时分复用

时分复用是权衡编码的一种特殊情况。时分复用通过混合纠缠辅助经典容量实现码和达到信道 Holevo 信息的码，可实现速率 (\lambda \chi(N) + (1 - \lambda) I(N))。我们可以构造如下形式的经典 - 量子态：
(\sigma_{UXAB} \equiv (1 - \lambda) |0 \rangle \langle 0| U \otimes |0 \rangle \langle 0|_X \otimes N {A’ \to B}(\phi_{AA’}) + \lambda|1 \rangle \langle 1| U \otimes \sum {x} p_X(x)|x \rangle \langle x| X \otimes |0 \rangle \langle 0|_A \otimes N {A’ \to B}(\psi_x^{A’}))
其中，寄存器 (U) 作为经典二进制标志，指示使用哪种码。通过计算量子互信息 (I(AUX; B) {\sigma})，可得：
(I(AUX; B) {\sigma} = I(A; B|XU) {\sigma} + I(X; B|U) {\sigma} + I(U; B) {\sigma} \geq (1 - \lambda) I(N) + \lambda \chi(N))
当 (\phi {A’} = \sum_{x} p(x) \psi_x^{A’}) 时，该策略等效于时分复用。

6.3 相干与经典通信的权衡

通过将 CE 权衡编码协议中的 (|X|) 个纠缠辅助经典码升级为纠缠辅助相干码，可得到如下推论：

6.3.1 推论内容

对于量子信道 (N)，存在可实现的纠缠辅助相干通信协议，满足资源不等式：
(\langle N \rangle + H(A|X) {\rho} [qq] \geq I(A; B|X) {\rho} [q \to qq] + I(X; B) {\rho} [c \to c])
其中，(\rho {XAB}) 是如下形式的态：
(\rho_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x \rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\phi_x^{AA’}))
且态 (\phi_x^{AA’}) 为纯态。

6.4 经典与量子通信的权衡

下面介绍几种不同类型的权衡编码协议，以实现经典和量子信息的有效通信。

6.4.1 CQE 权衡编码

对于量子信道 (N_{A’ \to B})，存在可实现的纠缠辅助经典和量子信息通信协议，满足资源不等式：
(\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E|X) {\rho} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B|X) {\rho} [q \to q] + I(X; B) {\rho} [c \to c])
其中，(\rho {XABE}) 是如下形式的态：
(\rho_{XABE} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x \rangle \langle x| X \otimes U_N^{A’ \to BE}(\phi_x^{AA’}))
态 (\phi_x^{AA’}) 为纯态，(U_N^{A’ \to BE}) 是信道 (N {A’ \to B}) 的等距扩展。

证明过程如下：
1. 由相干与经典通信权衡的推论可得：
(\langle N \rangle + H(A|X) {\rho} [qq] \geq I(A; B|X) {\rho} [q \to qq] + I(X; B) {\rho} [c \to c])
2. 根据相干通信恒等式，有：
(\langle N \rangle + H(A|X) {\rho} [qq] \geq \frac{1}{2}I(A; B|X) {\rho} [qq] + \frac{1}{2}I(A; B|X) {\rho} [q \to q] + I(X; B) {\rho} [c \to c])
3. 经过资源抵消，并注意到 (H(A|X) {\rho} - \frac{1}{2}I(A; B|X) {\rho} = \frac{1}{2}I(A; E|X) {\rho})，可得最终的资源不等式。

6.4.2 CQ 权衡编码

对于量子信道 (N_{A’ \to B})，存在可实现的同时进行经典和量子通信的协议，满足资源不等式：
(\langle N \rangle \geq I(A \rangle BX) {\rho} [q \to q] + I(X; B) {\rho} [c \to c])
其中，(\rho_{XAB}) 是如下形式的态：
(\rho_{XAB} \equiv \sum_{x} p_X(x)|x \rangle \langle x| X \otimes N {A’ \to B}(\phi_x^{AA’}))
态 (\phi_x^{AA’}) 为纯态。

以下是不同权衡编码协议的对比表格：
| 协议 | 消耗资源 | 生成资源 |
| — | — | — |
| CQE 权衡编码 | (\langle N \rangle + \frac{1}{2}I(A; E|X) {\rho} [qq]) | (\frac{1}{2}I(A; B|X) {\rho} [q \to q] + I(X; B) {\rho} [c \to c]) |
| CQ 权衡编码 | (\langle N \rangle) | (I(A \rangle BX) {\rho} [q \to q] + I(X; B)_{\rho} [c \to c]) |

综上所述，在量子通信中，基于噪声资源的相干通信及相关协议为解决不同场景下的通信问题提供了有效的方法。从相干反馈等距信道下的资源不等式，到各种权衡编码协议，这些成果有助于在纠缠资源有限等复杂情况下实现高效的经典和量子通信。未来，随着量子技术的不断发展，这些协议有望在实际量子通信系统中发挥重要作用。