36、经典与量子典型性：信息理论中的关键概念

经典与量子典型性：信息理论中的关键概念

1. 经典典型性概述

在信息理论中，经典典型性的核心思想源于香农的深刻洞察，即大数定律在信息理论中的应用。我们的主要目标是分析信息传输或压缩过程中的错误概率。因此，我们关注的是大概率出现的序列，而非所有序列，这一思路直接引出了典型序列的定义以及简单的信息压缩方案——仅保留典型序列，在渐近极限下，该方案的性能是最优的。

对于足够大的 (n)，存在 ((n, C(N) - \delta’, 2\varepsilon’)) 信道编码，其中 (\delta’ > 0)，(\varepsilon’ \in (0, 1/2))（(\delta’ = 3\delta + 1/n)）。并且，证明过程不依赖于所采用的条件典型性定义是弱还是强。

2. 量子典型性的引入

量子信息理论的渐近理论研究中，量子典型性概念的引入与经典典型序列的直觉相似，但也存在重要差异。到目前为止，在量子香农理论的所有已知信息处理任务中，量子典型性的工具对于证明编码定理的可达性部分都非常有帮助。

然而，将经典典型性的概念引入量子领域存在一些障碍。例如，量子信息源的类比是什么？如何确定量子信息源发出的状态是否为典型状态？在经典情况下，检查序列中的所有比特即可确定典型性，但在量子领域，“查看量子比特”相当于进行测量，这会破坏我们希望在后续量子信息处理任务中保留的微妙叠加态。

为了解决这个问题，我们可以构造一个只有两个结果的不完全测量，以温和的方式询问量子系统。例如，对于“状态是否典型”这个问题，我们可以将其表述为一个二进制测量，只返回这个问题的答案，而不获取更多信息。由于状态很可能是典型状态，这种询问方式不会对状态造成太