9、量子态理论：无噪声与有噪声情形的综合探讨

量子态理论：无噪声与有噪声情形的综合探讨

1. 无噪声量子理论中的幺正态拓展

在无噪声量子理论中，我们通常会研究二维量子系统中的量子比特，而对于 d 维系统中的量子态，它们被称为量子多体态（qudit states）。

1.1 量子多体态基础

量子多体态可以表示为一组正交基态的任意叠加。对于一个 d 维量子系统，其量子多体态 (|\psi\rangle) 可以写成：
[|\psi\rangle \equiv \sum_{j=0}^{d - 1} \alpha_j |j\rangle]
其中，振幅 (\alpha_j) 需满足归一化条件 (\sum_{j=0}^{d - 1} |\alpha_j|^2 = 1)

1.2 幺正演化

量子理论的第一个假设是可以对量子态进行幺正（可逆）演化。例如，循环移位算子 (X(x)) 和相位算子 (Z(z)) 就是两种常见的幺正演化算子。
- 循环移位算子 (X(x)) ：作用于正交基态 ({|j\rangle}_{j \in {0, \ldots, d - 1}}) 上，其作用规则为 (X(x)|j\rangle = |x \oplus j\rangle)，这里的 (\oplus) 表示循环加法算子，即运算结果为 ((x + j) \mod (d))。可以发现，它是 Pauli X 算子在量子多体态上的推广。
- 相位算子 (Z(z)) ：对基态施加依赖于状态的相位，其作用规则为 (Z(z)|j\rangle = \exp {i2\pi zj/d} |j\rangle)，这是 Paul