22、基础矩阵在计算机视觉中的应用解析

基础矩阵在计算机视觉中的应用解析

1. 引言

在计算机视觉领域，基础矩阵（Fundamental Matrix）是一个非常重要的概念，尤其在多视图几何中起着关键作用。它描述了两个不同视角下图像点之间的对应关系，广泛应用于立体视觉、相机标定、三维重建等领域。本文将深入探讨基础矩阵的定义、计算方法及其应用场景。

2. 基础矩阵的定义

基础矩阵 ( \mathbf{F} ) 是一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵，它描述了两个图像中对应点之间的几何关系。具体来说，假设点 ( \mathbf{x}_1 = (x_1, y_1, 1)^T ) 和 ( \mathbf{x}_2 = (x_2, y_2, 1)^T ) 分别是同一物理点在两个不同视角下的投影坐标，则它们满足以下关系：

[
\mathbf{x}_2^T \mathbf{F} \mathbf{x}_1 = 0
]

这意味着点 ( \mathbf{x}_2 ) 必须位于点 ( \mathbf{x}_1 ) 的极线上。极线是由基础矩阵确定的一条直线，表示在第二个视角中，第一个视角中的点 ( \mathbf{x}_1 ) 的所有可能对应点所在的直线。

3. 计算基础矩阵

3.1 最小二乘法

基础矩阵的计算通常基于图像中已知的对应点对。假设我们有 ( n ) 对对应点 ( (\mathbf{x}_i, \mathbf{x}’_i) )，则可以通过最小化以下目标函数来求解基础矩阵 ( \mathbf{F} )：

[
E(\mathbf{F}) = \sum_{i=1}^{n}