10、图中防御性和进攻性联盟的参数化复杂性

图中防御性和进攻性联盟的参数化复杂性

1. 引言

在图论中，防御性和进攻性联盟的概念对于理解图结构及其应用至关重要。这些联盟在不同领域有着广泛的应用，例如社交网络分析、网络安全、生物信息学等。本文将深入探讨图中防御性和进攻性联盟的参数化复杂性，特别是在不同参数条件下的固定参数可解性。我们还将讨论一些未解决的问题，并介绍相关的研究进展。

1.1 研究背景

防御性和进攻性联盟是指图中的一组节点，它们之间具有特定的关系，使得这组节点在某种意义上能够互相支持或对抗外界的威胁。防御性联盟强调的是内部节点之间的互助关系，而进攻性联盟则侧重于对外部节点的影响力。这些概念在图论中有着重要的理论意义，并且在实际应用中也有着广泛的价值。

2. 防御性联盟和进攻性联盟的定义

2.1 防御性联盟

防御性联盟（Defensive Alliance）是指图 ( G = (V, E) ) 中的一个子集 ( S \subseteq V )，满足以下条件：对于任意节点 ( v \in S )，其在 ( S ) 内的邻居数不少于其在 ( S ) 外的邻居数。形式化地，对于每个 ( v \in S )，有：

[ |N(v) \cap S| \geq |N(v) \setminus S| ]

其中 ( N(v) ) 表示节点 ( v ) 的邻居集合。

2.2 进攻性联盟

进攻性联盟（Offensive Alliance）是指图 ( G = (V, E) ) 中的一个子集 ( S \subseteq V )，满足以下条件：对于任意节点 ( v \notin S )，其