最大公约数问题

最大公约数

题目描述

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。

1、穷举法，又名枚举法。其算法过程为：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。

2、更相减损术，又名辗转相减法，等值算法，尼考曼彻斯法。其算法过程为：(如果需要对分数进行约分，那么)可以折半的话，就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

3、辗转相除法， 又名欧几里德算法，其算法过程为：设两数为a,b设其中a 做被除数，b做除数，temp为余数。

1. 大数放a中、小数放b中；
2. 求a/b的余数；
3. 若temp=0则b为最大公约数；
4. 如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
5. 返回第2步；

4、Stein算法：通过数学的思想进行验证出：对于俩个正整数数（x>y）：

均为偶数 gcd(x,y)=2gcd(x/2,y/2)；
均为奇数 gcd(x,y)=gcd(abs(x-y),min(x,y)) = gcd((x+y)/2,(x-y)/2)；
x奇y偶 gcd(x,y)=gcd(x,y/2)；
x偶y奇 gcd(x,y)=gcd(x/2,y)；

5、短除法，其算法思想是：不断地找两个数的最小公约数，直到找不到为止，然后把所有的最小公约数乘起来，就是最大公约数。