Boyer-Moore 投票算法

Boyer-Moore 投票算法:寻找多数元素的利器

在计算机科学中,寻找数组中的多数元素(即出现次数超过一半的元素)是一个经典问题。Boyer-Moore 投票算法(Boyer-Moore Voting Algorithm)是一种高效且优雅的解决方案,能够在时间复杂度为 O(n) 和空间复杂度为 O(1) 的情况下找到多数元素。

1. 问题背景

假设我们有一个长度为 n 的数组,我们需要找到其中出现次数超过一半的元素。例如,在数组 [3, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4] 中,元素 4 出现了 5 次,超过了数组长度的一半(9/2 = 4.5),因此 4 是多数元素。

2. Boyer-Moore 投票算法的基本思想

Boyer-Moore 投票算法的核心思想是通过“投票”和“抵消”的过程来找到多数元素。具体步骤如下:

  1. 初始化:选择数组中的第一个元素作为候选元素(candidate),并设置计数器(count)为 1。
  2. 遍历数组
    • 如果当前元素与候选元素相同,则计数器加 1。
    • 如果当前元素与候选元素不同,则计数器减 1。
    • 如果计数器变为 0,则将当前元素设为新的候选元素,并将计数器重置为 1。
3.代码示例
function majorityElement(array) {
    let candidate = array[0]; // 初始候选人
    let count = 1; // 计数器
    for (let i = 1; i < array.length; i++) {
        if (array[i] === candidate) {
            count++; // 相同元素,计数器加一
        } else {
            count--; // 不同元素,计数器减一
            if (count === 0) {
                candidate = array[i]; // 更换候选人
                count = 1; // 重置计数器
            }
        }
    }
    return candidate; // 返回最终的候选人
}

算法原理:

  1. 候选人初始化:假设第一个元素是候选人,计数器设为 1。

  2. 遍历数组

    • 如果遇到的元素和候选人相同,计数器加一。
    • 如果不同,计数器减一。
  3. 更换候选人:当计数器减到 0 时,换下一个元素作为候选人,计数器重置为 1。

  4. 结果:遍历完成后,当前的候选人就是出现次数超过一半的元素。

为什么有效:

  • 出现次数超过一半的元素,累加次数一定会大于其他元素。
  • 非主要元素会相互抵消,最终剩下的就是主要元素。

举个例子:

对于数组 [5, 5, 5, 1, 2, 5, 5]

  • 初始候选人是 5,计数器为 1。
  • 第二个元素是 5,计数器加一,变为 2。
  • 第三个元素是 5,计数器加一,变为 3。
  • 第四个元素是 1(非候选人),计数器减一,变为 2。
  • 第五个元素是 2(非候选人),计数器减一,变为 1。
  • 第六个元素是 5,计数器加一,变为 2。
  • 第七个元素是 5,计数器加一,变为 3。
  • 遍历结束,候选人是 5,计数器为 3。

最终返回的候选人 5 就是出现次数超过一半的元素。

4. 算法分析
  • 时间复杂度:O(n),其中 n 是数组的长度。算法需要遍历数组两次,因此总的时间复杂度为 O(2n),即 O(n)。
  • 空间复杂度:O(1)。算法只需要常数级别的额外空间来存储候选元素和计数器。
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