Codeforces 1110D Jongmah （DP）状态限制_codeforces

本文探讨了一种针对特定条件下的三元组匹配问题，并提出了一种动态规划算法来求解该问题。通过将问题转化为状态转移的形式，利用dp数组记录中间结果，实现了对输入数字集合的有效处理。

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题意：你有n个数字，范围[1, m]，你可以选择其中的三个数字构成一个三元组，但是这三个数字必须是连续的或者相同的，每个数字只能用一次，问这n个数字最多构成多少个三元组?

解析：首先我们容易发现，我们发现，假设有3个三元组（x, x + 1, x + 2),我们不妨把这3个三元组换成(x, x, x), (x + 1, x + 1, x + 1), (x + 2, x + 2, x + 2)这3个三元组。那么，对于每个x，最多有2个(x, x + 1, x + 2)这样的三元组。这样，每个阶段的状态数就是有限的了。

设dp[i][j][k]为数字1到i，有j个(i - 1, i , i + 1)三元组，k个(i , i + 1, i + 2)三元组可以组成的最多的三元组的数目，我们现在考虑向i + 1转移。因为前面有j个(i - 1, i , i + 1)，k个(i , i + 1, i + 2)，假设本来有t个i + 1,那么现在可用来构成新的三元组的i + 1有t - j - k个。

这t - j - k个i + 1可以用来构成(i + 1, i + 2, i + 3)，也可用来构成(i + 1, i + 1, i + 1)。我们就可以枚举这些i + 1是形成什么样的三元组来进行状态转移了。初态：dp[0][0][0] = 0，其余负无穷。末态：dp[m + 1][0][0]。因为m + 1肯定没有数，所以dp[m + 1][0][0]是m + 1处的唯一合法状态，也就是答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int n,m;
int cnt[1000005];

int dp[1000005][3][3];

int main() {

    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));

        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int tp;scanf("%d",&tp);
            cnt[tp]++;
        }

        dp[0][0][0]=0;
        for(int i=0;i<=m;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    if(dp[i][j][k]!=-1)
                    {
                        int len=min(cnt[i+1]-j-k,min(cnt[i+2]-k,cnt[i+3]));
                        for(int l=0;l<=min(2,len);l++)
                            dp[i+1][k][l]=max(dp[i+1][k][l],dp[i][j][k]+l+(cnt[i+1]-l-j-k)/3);
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m+1][0][0]);
    }
    return 0;
}