codeforces 9D How many trees?（DP，注意状态表示方法）

最新推荐文章于 2025-01-20 21:44:42 发布

原创最新推荐文章于 2025-01-20 21:44:42 发布 · 1.1k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#DP

Codeforces 专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了在解决树形结构问题时，如何通过深度优先状态转移进行动态规划优化。详细比较了三种不同的状态表示方法，包括时间复杂度和代码复杂度的考量，并提供了实现第三种方法的高效代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

分析：比较一下各种状态表示，

①dp[n][h] 若表示n个节点深度为h，需要枚举左右儿子的深度，则每次转移需要O(n*h^2)，不够优；

②若dp[n][h]表示n个节点深度大于等于h，转移时的条件是至少有一个儿子的深度大于等于h-1，发现转移略复杂，是：[“左儿子深度<h-1" * "右儿子深度>=h-1"] + [“左儿子深度>=h-1” * "右儿子深度<h-1"] + ["左儿子深度>=h-1" * "右儿子深度>=h-1"] ，这三种情况的组合，深度小于h可以用“深度>=h” - "深度>=0" 代替，每次转移需要O(n) , 时间性能良好，但编写略复杂；

③dp[n][h]表示n个节点深度小于等于h，此时答案为 dp[n][n] - dp[n][h-1] , 状态转移条件是两个儿子深度都小于等于h-1 , 只有一种情况，没次转移需要O(n)

同过上面比较可知第三种表示方法，兼有时间复杂度和代码复杂度的优势。

附第三种方法的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[40][40];

LL DP(int n,int h){
    if(dp[n][h]>=0) return dp[n][h];
    if(h==0) return dp[n][h] = n<=0 ? 1 : 0;
    if(n==0) return dp[n][h] = h>=0 ? 1 : 0;
    dp[n][h] = 0;
    for(int k=1;k<=n;k++){
        dp[n][h] += DP(k-1,h-1)*DP(n-k,h-1);
    }
    return dp[n][h];
}

int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    int n,h;
    while(cin>>n>>h) cout<<DP(n,n)-DP(n,h-1)<<endl;
    return 0;
}