2024_ICLR_Honorable mentions_FLOW MATCHING ON GENERAL GEOMETRIES

文章核心总结与翻译

一、主要内容

本文提出黎曼流匹配（Riemannian Flow Matching, RFM） 框架，用于在黎曼流形上训练连续归一化流（CNFs），解决非欧几里得空间生成模型面临的高维扩展性差、训练需昂贵模拟、目标函数有偏等问题。

核心背景

生成模型在欧几里得空间已取得显著进展，但非欧几里得空间（如流形）的数据建模仍存在挑战：

• 高维场景下扩展性不足；
• 即使简单几何（如超球面）也需训练时模拟或迭代采样；
• 难以构建简洁可扩展的训练目标。

方法核心

1. 基于预度量（premetric）的目标向量场：通过满足非负性、正定性、非退化性（含边界流形需额外边界条件）的预度量定义目标向量场，在简单几何中可直接使用测地线距离，复杂几何中采用谱距离（如双调和距离、扩散距离）。
2. 黎曼条件流匹配（RCFM）：通过边际化条件向量场避免直接计算目标向量场的难解性，训练目标为回归条件向量场与模型预测向量场的黎曼度量误差。
3. 几何适配策略：
   • 简单几何（欧氏空间、超球面、双曲空间等）：利用闭形式测地线，实现完全无模拟训练；
   • 一般几何（三角形网格、含边界流形）：通过谱分解高效计算预度量，仅需简单常微分方程（ODE）前向模拟，无需求解随机微