#368 C. Pythagorean Triples 勾股数

1. 最大公约数为1的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。
2. 勾股数具有以下特性：
   　　斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；
   　　斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；
3. 由以上定义我们推导出勾股公式：
   　　X = P＾2 + PQ　（X等于P平方加PQ）
   　　Y = Q＾2/ 2 + PQ　（Y等于二分之Q方加PQ）
   　　Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ　（Z等于P平方加二分之Q方加PQ）
4. 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。除了1和2，任意一个非负整数都可以作为勾股数中的一个数。
5. 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。
6. 如果要求包含一个数n的任意一组勾股数，通过这个数的奇偶性构造勾股定理恒等式即可，例：
   n = 1, 2: There are no solutions (easy to prove)
   n is even:
   n is odd: