33、图算法中的最短路径与最小生成树问题

图算法中的最短路径与最小生成树问题

1. 迪杰斯特拉算法复杂度分析

迪杰斯特拉算法旨在解决“最小代价路径问题”，然而在许多地方它也被称为“最短路径问题”。这里我们先明确其时间和空间复杂度。

• 空间复杂度 ：该算法需要并行数组 finalized 、 predecessor 和 total_cost ，以及一个优先队列。这三个数组的大小均为 n ，优先队列最多包含 m 个类型为 (顶点, 总代价) 的条目。因此，空间复杂度为$O(n + m)$。
• 时间复杂度 ：初始化并行数组需要$O(n)$次操作。在最佳情况下，目的地可能与起点相同，此时算法在初始化后只需进行常数次操作即可完成。与广度优先算法不同，迪杰斯特拉算法可能会多次访问每个顶点，但它最多只会访问图中的每条边一次。对于某些边，顶点 y 会以新的总代价被添加到最小队列中。由于每条边最多添加一个新顶点到优先队列 pq ，所以 pq 中的顶点数最多为 m 。使用第5.6节介绍的堆实现，插入和删除操作需要$O(log(m))$次操作。因此，在最坏情况下，复杂度为$O(n + m log(m))$，也可表示为$O(n^2 log(n))$。总体而言，该算法的复杂度为$O(n)$到$O(n + m log(m))$或$O(n^2 log(n))$。

下面是复杂度的总结表格：
| 复杂度类型 | 复杂度表达式 |
| ---- | ---- |
| 空间复杂度 | $O(n + m)$ |
| 时间复杂度（最佳情况） | $O(n)$ |
| 时间复杂度（最坏情况） | $O(n + m log(m))$或$O(n^2 log(n))$ |

2. 迪杰斯特拉算法相关练习

这里给出一些与迪杰斯特拉算法相关的练习，帮助大家更好地理解和应用该算法。
- 练习7.5.3 ：使用图7.36，运行图7.30中的简单算法，找出从顶点8到顶点5的最短路径（边数最少的路径）。需要先建立计算机程序使用的邻接结构，然后基于该结构进行操作，而不是直接根据图的图像。算法完成后，列出从目的地到起点的路径上的顶点（反向）。
- 练习7.5.4 ：在练习7.4.1的图上运行图7.30中的最短路径算法，以顶点0为起点，顶点1为目的地，观察会发生什么。
- 练习7.5.5 ：为图7.37建立邻接结构，并使用该结构运行图7.33中的迪杰斯特拉最小代价路径算法，以顶点0为起点，顶点7为目的地。
- 练习7.5.6 ：迪杰斯特拉算法在确定指定的目的地顶点后停止。对图7.33中的迪杰斯特拉算法代码进行怎样的小修改，能使其为图 G 中的每个顶点 v 找到从起点到 v 的最小代价路径？即修改后的算法停止时，每个从起点可达的顶点都应标记上从起点到该顶点的最小代价路径的距离，并且能够反向读出从起点到任何指定顶点的最小代价路径。
- 练习7.5.7 ：迪杰斯特拉算法在有向图和无向图上都能很好地工作。在图7.38的有向图上运行迪杰斯特拉算法，以顶点1为起点，顶点7为目的地。

3. 最小生成树问题引入

假设一家有线电视公司计划为一个由一些分散住宅组成的农村地区提供服务。每个住宅都必须以某种方式连接到“电网”。有些住宅对之间可以直接连接，而有些则不行，并且可以计算出每个可行连接的安装成本。我们的目标是找到提供所需服务的最便宜方式。

从图论的角度来看，我们要在图中寻找一个具有两个属性的子图：该子图必须是连通的，并且子图中边的权重之和必须尽可能小。稍加思考可以发现，最小代价子图不会包含环，因为任何包含环的连通子图都可以通过从环中移除一条边（但不移除顶点）来减少总代价。

4. 相关定义和定理

在解决最小生成树问题之前，我们需要了解一些相关的定义和定理。
- 定义7.6.1 ：
- 自由树（或无根树）是一个无向、连通且无环的图。
- 无向图 G 的生成树是 G 的一个子图 T ，具有以下两个属性：(1) T 与 G 具有相同的顶点集；(2) T 是一棵自由树。

下面是一些重要的定理：
- 定理7.6.2 ：如果一个图（有向或无向）包含从顶点 x 到不同顶点 y 的路径，那么该图包含从 x 到 y 的简单路径。
- 定理7.6.3 ：如果图 G （有向或无向）是无环的，那么 G 的所有子图都是无环的。
- 定理7.6.4 ：如果一个无向图是连通的且包含一个环，那么从环中移除任何一条边（但不移除顶点）得到的子图仍然是连通的。
- 定理7.6.5 ：如果一个无向图 G 是连通的，并且包含两个顶点 a 和 b ，但不包含它们之间的边，那么在 G 的边集中添加边 {a, b} 得到的图 H 是连通的，并且包含一个环，其中一条边是 {a, b} 。
- 定理7.6.6 ：每个无向连通图至少包含一棵生成树。
- 定理7.6.7 ：每个恰好有 n 个顶点的自由树恰好有 n - 1 条边。
- 定理7.6.9 ：如果一个恰好有 n 个顶点的连通无向图恰好有 n - 1 条边，那么它一定是无环的（因此它一定是一棵自由树，因为它是连通且无环的）。
- 定理7.6.10 ：设 G 是一个恰好有 n 个顶点的无环无向图， k 表示 G 的连通分量的数量。那么 G 恰好有 n - k 条边。
- 定理7.6.11 ：如果一个恰好有 n 个顶点的无环无向图恰好有 n - 1 条边，那么它一定是连通的（因此它一定是一棵自由树，因为它是连通且无环的）。

这些定理的关系可以用以下mermaid流程图表示：

graph LR
    A[无向连通图] --> B[可能有环]
    A --> C[可能无环]
    B --> D[移除环中边得连通子图]
    D --> E[重复操作得生成树]
    C --> F[本身是生成树]
    G[自由树] --> H[n个顶点有n - 1条边]
    I[无环无向图] --> J[n个顶点k个连通分量有n - k条边]
    K[连通无向图且n个顶点n - 1条边] --> L[无环且是自由树]
    M[无环无向图且n个顶点n - 1条边] --> N[连通且是自由树]

5. 最小生成树问题的解决思路

我们已经知道每个连通、无向、加权图至少包含一棵最小生成树（定理7.6.13），但该定理并没有给出找到最小生成树的有效方法。一般来说，在连通无向图 G 中找到所有可能的生成树是一项艰巨的任务。

定理7.6.14为我们提供了一个寻找最小生成树的高效算法的线索。该定理指出，对于一个连通、无向、加权图 G ，设 e 是 G 中所有边中权重最小的边，那么存在一棵包含 e 的最小生成树。这意味着我们可以从选择图 G 中权重最小的边开始构建最小生成树，然后继续选择剩余边中权重最小的边，并确保不选择会形成环的边，最终我们将得到足够的边来构成一棵生成树。

这种思想最早由Kruskal提出，通常在教科书中与Prim算法一起出现，这两种算法复杂度相同，但Kruskal算法在稀疏图中更快，而Prim算法更适合稠密图。它们都有多种应用，最常见的是随机迷宫生成。

下面是构建最小生成树的步骤总结：
1. 选择图中权重最小的边。
2. 继续选择剩余边中权重最小的边，确保不形成环。
3. 重复步骤2，直到得到足够的边构成生成树。

通过以上内容，我们对迪杰斯特拉算法的复杂度和应用有了更深入的了解，同时也掌握了最小生成树问题的基本概念、相关定理以及解决思路。希望这些内容能帮助大家更好地理解和应用图算法。

图算法中的最短路径与最小生成树问题（续）

6. 迪杰斯特拉算法复杂度的深入理解

为了更好地理解迪杰斯特拉算法复杂度的实际影响，我们可以考虑不同规模的图。假设我们有一个稀疏图，其中顶点数 n 远大于边数 m ，在这种情况下，时间复杂度中的 m log(m) 项相对较小，算法的性能主要受 n 的影响。而对于稠密图，边数 m 接近 n^2 ，此时 m log(m) 项会显著影响算法的执行时间。

下面我们通过一个表格来对比不同规模图下迪杰斯特拉算法的复杂度表现：
| 图的类型 | 顶点数 n | 边数 m | 时间复杂度 | 大致执行时间对比 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 稀疏图 | 100 | 200 | $O(n + m log(m))$ ≈ $O(100 + 200 log(200))$ | 相对较短 |
| 稠密图 | 100 | 9900 | $O(n + m log(m))$ ≈ $O(100 + 9900 log(9900))$ | 相对较长 |

从表格中可以看出，在不同类型的图中，迪杰斯特拉算法的复杂度表现差异较大。这也提醒我们在实际应用中，需要根据图的特点选择合适的算法。

7. 迪杰斯特拉算法练习的操作步骤

下面为迪杰斯特拉算法相关练习提供具体的操作步骤：
- 练习7.5.3 ：
1. 建立邻接结构：根据图7.36，将每个顶点的相邻顶点及其边信息存储在邻接表或邻接矩阵中。
2. 初始化：设置起点为顶点8，将起点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
3. 运行算法：使用图7.30中的简单算法，不断更新顶点的距离和前驱顶点。
4. 输出路径：从目的地顶点5开始，根据前驱顶点反向查找路径，直到找到起点顶点8。

• 练习7.5.4 ：

  1. 建立邻接结构：根据练习7.4.1的图，建立相应的邻接结构。
  2. 初始化：设置起点为顶点0，目的地为顶点1，将起点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
  3. 运行算法：使用图7.30中的最短路径算法，观察算法的执行过程和结果。

• 练习7.5.5 ：

  1. 建立邻接结构：为图7.37建立邻接结构，记录每条边的权重。
  2. 初始化：设置起点为顶点0，目的地为顶点7，将起点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
  3. 运行算法：使用图7.33中的迪杰斯特拉最小代价路径算法，不断更新顶点的距离和前驱顶点。
  4. 输出路径：从目的地顶点7开始，根据前驱顶点反向查找路径，直到找到起点顶点0。

• 练习7.5.6 ：

  1. 修改代码：在图7.33的迪杰斯特拉算法代码中，去掉当到达目的地顶点时停止的条件。
  2. 运行算法：让算法继续执行，直到所有可达顶点都被处理。
  3. 记录距离和路径：在算法执行过程中，记录每个顶点的最小代价路径距离和前驱顶点。

• 练习7.5.7 ：

  1. 建立邻接结构：根据图7.38的有向图，建立邻接结构。
  2. 初始化：设置起点为顶点1，目的地为顶点7，将起点的距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
  3. 运行算法：使用迪杰斯特拉算法，不断更新顶点的距离和前驱顶点。
  4. 输出路径：从目的地顶点7开始，根据前驱顶点反向查找路径，直到找到起点顶点1。

8. 最小生成树定理的证明思路

对于前面提到的最小生成树相关定理，我们可以简要介绍其证明思路：
- 定理7.6.2 ：如果路径不是简单路径，说明存在重复的顶点。我们可以通过移除重复顶点之间的部分路径，得到一个更短的路径，不断重复这个过程，最终可以得到一个简单路径。
- 定理7.6.3 ：采用反证法。假设存在一个子图包含环，那么这个环也会存在于原图中，这与原图无环矛盾。
- 定理7.6.4 ：由于图是连通的且包含环，移除环中的一条边后，仍然可以通过环中的其他边找到两个顶点之间的路径，因此子图仍然是连通的。
- 定理7.6.5 ：添加边 {a, b} 后，因为原图中 a 和 b 之间存在路径，加上新边就形成了一个环，且图的连通性不变。
- 定理7.6.6 ：如果图本身无环，那么它就是自己的生成树；如果有环，我们可以不断移除环中的边，直到得到一个无环的连通子图，即生成树。
- 定理7.6.7 ：使用数学归纳法。当 n = 1 时，显然成立。假设对于 n <= k 时成立，对于 n = k + 1 的自由树，移除一个顶点及其相连的边，得到的子图是由多个自由树组成，根据归纳假设可以推出该树有 k 条边。
- 定理7.6.9 ：采用反证法。假设图包含环，那么移除环中的一条边后，图仍然是连通的，但边数会减少，这与边数为 n - 1 矛盾。
- 定理7.6.10 ：因为图是无环的，每个连通分量都是自由树，根据定理7.6.7可以计算出边数。
- 定理7.6.11 ：根据定理7.6.10，边数为 n - 1 意味着连通分量数 k = 1 ，即图是连通的。

9. Kruskal算法和Prim算法对比

Kruskal算法和Prim算法都是用于寻找最小生成树的经典算法，下面我们通过一个表格来对比它们的特点：
| 算法 | 基本思想 | 适用图类型 | 复杂度 | 操作步骤 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Kruskal算法 | 按边的权重从小到大依次选择边，确保不形成环 | 稀疏图 | $O(m log(m))$ | 1. 对所有边按权重排序；2. 依次选择边，若不形成环则加入生成树；3. 重复步骤2直到得到生成树 |
| Prim算法 | 从一个顶点开始，不断选择与已选顶点集合相连的权重最小的边 | 稠密图 | $O(n^2)$ | 1. 选择一个起始顶点；2. 不断选择与已选顶点集合相连的权重最小的边，将新顶点加入集合；3. 重复步骤2直到所有顶点都被加入集合 |

下面是Kruskal算法和Prim算法的执行流程mermaid流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(对所有边按权重排序):::process
    B --> C{选择边}:::decision
    C -->|不形成环| D(加入生成树):::process
    D --> E{是否得到生成树}:::decision
    E -->|否| C
    E -->|是| F([结束]):::startend
    C -->|形成环| C

    G([开始]):::startend --> H(选择起始顶点):::process
    H --> I{选择与已选顶点集合相连的最小边}:::decision
    I --> J(将新顶点加入集合):::process
    J --> K{是否所有顶点都加入集合}:::decision
    K -->|否| I
    K -->|是| L([结束]):::startend

10. 图算法的实际应用

图算法在许多领域都有广泛的应用，例如：
- 网络路由 ：在计算机网络中，迪杰斯特拉算法可以用于寻找最短路径，确保数据包能够高效地传输。
- 地图导航 ：在地图应用中，通过图算法可以计算出从起点到目的地的最短路径，为用户提供导航服务。
- 电路设计 ：在电路设计中，最小生成树算法可以用于确定连接各个元件的最短线路，降低成本。
- 社交网络分析 ：在社交网络中，图算法可以用于分析用户之间的关系，例如寻找最短的社交路径、发现社区等。

通过以上内容，我们对迪杰斯特拉算法和最小生成树算法有了更全面的了解，包括它们的复杂度、应用场景、操作步骤以及相关定理的证明思路。希望这些内容能帮助大家在实际应用中更好地选择和使用图算法。