15、行列式和Pfaffian的无除法算法

行列式和Pfaffian的无除法算法

1. 引言

在矩阵代数中，行列式和Pfaffian是两个重要的概念。行列式在许多领域都有广泛应用，而Pfaffian则与反对称矩阵密切相关，并且在组合数学中有着特殊的地位。本文将探讨行列式和Pfaffian的无除法算法，这些算法在处理整数行列式或避免除法运算时具有重要意义。

2. Pfaffian的基本概念

2.1 Pfaffian的定义

对于一个反对称矩阵 (A=(a_{ij}))，其中 (a_{ij} = -a_{ji})，其行列式是另一个表达式的平方，这个表达式被称为Pfaffian，记为 (pf A)。例如，对于一个 (4\times4) 的反对称矩阵：
(\begin{vmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} & a_{14}\
-a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24}\
-a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34}\
-a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0
\end{vmatrix}=(a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2)

形式上，对于一个具有偶数行和列的反对称矩阵 (A)，Pfaffian的定义为：
(pf A = \sum_{完美匹配M} sign M \cdot weight(M))
其中，一个具有 (k = n/2) 条边的完美匹配 (M) 可以表示为 (M = (i_1, j_1)