12、线性递推关系：齐次与非齐次问题的求解

线性递推关系：齐次与非齐次问题的求解

1. 线性齐次递推关系

线性齐次递推关系在数学和计算机科学中有着广泛的应用，它可以帮助我们描述和解决许多实际问题。下面我们将通过一些具体的例子来深入了解其求解方法。

1.1 一般解形式示例

对于不同形式的线性齐次递推关系，其一般解形式各有特点。以下是一些常见的例子：
- F(n) = 5F(n - 1) ：其解的形式为 F(n) = α 5ⁿ，其中 α 为任意常数。这是因为递推关系表明后一项是前一项的 5 倍，所以指数形式的解符合这种规律。
- F(n) = (2/3)F(n - 1) ：解为 F(n) = α (2/3)ⁿ，α 为常数。同样，后一项是前一项的 2/3 倍，指数形式的解能准确描述这种关系。
- F(n) = F(n - 1) ：解为 F(n) = α，这里 α 是常数，意味着该序列是一个常数列，每一项都相等。
- F(n) = F(n - 1) + 2F(n - 2) ：首先得到特征方程 r² = r + 2，因式分解为 (r - 2)(r + 1) = 0，解得特征根 r₁ = -1 和 r₂ = 2。所以一般解形式为 F(n) = α₁ (-1)ⁿ + α₂ 2ⁿ，α₁ 和 α₂ 为常数。
- F(n) = F(n - 1) - (1/4)F(n - 2) ：特征方程 r² = r - 1/4，配方可得 (r - 1/2)² = 0，有两个相同的特征根 r₁ = r₂ = 1/2。根