模板：常系数齐次线性递推（线性代数、多项式）

所谓常系数齐次线性递推，就是系数为常数的齐次线性递推。

（逃）

前言

sto Asta orz！
又是一个名字高大上，实则小清新的算法！

解析

考虑一个 k 次的线性递推：
$$a_n=\sum _{i=1}^k{f}_i{a}_{n-i}$$
不断的把高次的项按照定义式拆成低次项，最终必然可以写成 ${\sum }_{i=0}^{k-1}{p}_i{a}_i$ 的形式。
以最常见的斐波拉契为例：$f_5=f_4+f_3=2f_3+f_2=3f_2+2f_1=5f_1+3f_0$。
然后带入 $a_{0...k-1}$ 的值计算即可。

注意到，我们分解高次项的过程，其实在本质上也就等价于令 $x^n$ 不断向多项式 $x^k-f_1{x}^{k-1}-f_2{x}^{k-2}-...-f_k{x}^0$ 取模的过程。
既然如此，我们就可以直接使用类似于快速幂的方法，不断把 $x$ 平方并向上述的多项式取模即可。
暴力取模 $O(k^2\log n)$，使用多项式科技可以做到 $O(k\log k\log n)$。

代码

（过度封装非常严重，常数极大。）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
inline ll read() {
  ll x(0),f(1);char c=getchar();
  while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
  while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
  return x*f;
}
const int N=2e5+100;
const int mod=998244353;
int n,m,k;
inline ll ksm(ll x,ll k){
  ll res=1;
  while(k){
    if(k&1) res=res*x%mod;
    x=x*x%mod;k>>=1;
  }
  return res;
}
int niv2=ksm(2,mod-2);
int r[N];
void init(int n,int &lim){
  lim=1;int L=0;
  while(lim<n) lim<<=1,L++;
  for(int i=1;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
}
void NTT(ll *x,int lim,int op){
  for(int i=0;i<lim;i++) if(i<r[i]) swap(x[i],x[r[i]]);
  for(int l=1;l<lim;l<<=1){
    ll w=ksm(3,(mod-1)/(l<<1));if(op==-1) w=ksm(w,mod-2);
    for(int st=0;st<lim;st+=(l<<1)){
      for(ll i=0,now=1;i<l;i++,now=now*w%mod){
	ll u=x[st+i],v=now*x[st+i+l]%mod;
	x[st+i]=u+v>=mod?u+v-mod:u+v;
	x[st+i+l]=u-v<0?u-v+mod:u-v;
      }
    }
  }
  if(op==-1){
    ll ni=ksm(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<lim;i++) x[i]=x[i]*ni%mod;
  }
  return;
}
void copy(ll *a,ll *b,int n,int lim){
  assert(n<=lim);
  memcpy(a,b,sizeof(ll)*n);
  fill(a+n,a+lim,0);return;
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m){
  static ll u[N],v[N];
  static int lim;
  init(n+m-1,lim);
  copy(u,a,n,lim);
  copy(v,b,m,lim);
  NTT(u,lim,1);NTT(v,lim,1);
  for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=u[i]*v[i]%mod;
  NTT(c,lim,-1);
  //for(int i=0;i<n+m-1;i++) printf("%lld ",c[i]);putchar('\n');
  //putchar('\n');
  return;
}
void inv(ll *h,ll *f,int n){
  static ll t1[N],t2[N];
  static int lim;
  if(n==1){
    f[0]=ksm(h[0],mod-2);return;
  }
  inv(h,f,(n+1)>>1);
  init(n<<1,lim);
  fill(f+((n+1)>>1),f+lim,0);
  copy(t1,f,n,lim);copy(t2,h,n,lim);
  NTT(t1,lim,1);NTT(t2,lim,1);
  for(int i=0;i<lim;i++) t1[i]=(2*t1[i]-t1[i]*t1[i]%mod*t2[i]%mod+mod)%mod;
  NTT(t1,lim,-1);
  memcpy(f,t1,sizeof(ll)*n);
  return;
}
void chu(ll *f,ll *g,ll *q,ll *r,int n,int m){
  static ll F[N],G[N],ff[N],gg[N],Q[N],tmp[N];
  static int lim;
  --n;--m;
  init(n+n,lim);
  copy(F,f,n+1,lim);
  copy(ff,f,n+1,lim);
  copy(G,g,m+1,lim);
  copy(gg,g,m+1,lim);
  reverse(F,F+1+n);
  reverse(G,G+1+m);
  inv(G,tmp,n-m+1);mul(tmp,F,Q,n-m+1,n-m+1);
  reverse(Q,Q+n-m+1);
  //fill(Q+n-m+1,Q+n+1,0);
  for(int i=n-m+1;i<=n;i++) Q[i]=0;
  copy(q,Q,n-m+1,lim);
  mul(Q,gg,tmp,n+1,n+1);
  for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(ff[i]+mod-tmp[i])%mod;
  return;
}

ll F[N],G[N],Q[N],R[N];
void mul_mod(ll *x,ll *y,ll *Mod,int n){
  static ll t1[N],t2[N],t[N];
  static int lim;
  init(n+n,lim);
  copy(t1,x,n,lim);
  copy(t2,y,n,lim);
  mul(t1,t2,t,n,n);
  chu(t,Mod,t1,t,2*n-1,n+1);
  memcpy(x,t,sizeof(t));
}
ll LinearRecurrence(ll *a,ll *ff,int k,int n){
  static ll res[N],tmp[N],f[N];
  memset(tmp,0,sizeof(ll)*(k*2+5));
  memset(res,0,sizeof(ll)*(k*2+5));
  for(int i=0;i<k;i++) f[i]=(mod-ff[k-i])%mod;
  f[k]=1;
  tmp[1]=1;res[0]=1;
  while(n){
    if(n&1){     
      mul_mod(res,tmp,f,k);
    }
    mul_mod(tmp,tmp,f,k);
    n>>=1;
  }
  ll ans(0);
  for(int i=0;i<k;i++) ans=(ans+a[i]*res[i])%mod;
  return ans;
}
ll f[N],a[N];
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("a.in","r",stdin);
  freopen("a.out","w",stdout);
#endif
  n=read();k=read();
  for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=(read()%mod+mod)%mod;
  for(int i=0;i<k;i++) a[i]=(read()%mod+mod)%mod;
  printf("%lld\n",LinearRecurrence(a,f,k,n));
  return 0;
}
/*
  3 1
  2 3 3 1
  1 1
*/