27、线性时间计算线性问题核

线性时间计算线性问题核

在图论算法中，数据约简规则是一种重要的技术，它可以帮助我们简化图的结构，同时保持图的关键性质不变。本文将介绍两种数据约简规则，以及如何利用这些规则在平面图形上实现线性时间的问题核计算。

数据约简规则概述

数据约简规则的目标是在不改变图的平面性和支配数的前提下，对图进行简化。具体来说，我们使用两种约简规则：一种用于缩小顶点的邻域，另一种用于缩小区域。

私有邻域规则

首先，我们将图中顶点 ( v ) 的邻域划分为三个子集：
- ( N_G^1(v) := {u \in N_G(v) | N_G(u) \setminus N_G[v] \neq \emptyset} )
- ( N_G^2(v) := {u \in N_G(v) \setminus N_G^1(v) | N_G(u) \cap N_G^1(v) \neq \emptyset} )
- ( N_G^3(v) := N_G(v) \setminus (N_G^1(v) \cup N_G^2(v)) )

基于此，我们提出了私有邻域规则（Reduction Rule 1）：
若顶点 ( v ) 满足 ( |N_G^3(v)| > 1 ) 或 ( |N_G(N_G^3(v))| > 1 )，则从图 ( G ) 中移除 ( N_G^3(v) )，并向 ( v ) 附加一个新的度为 1 的虚拟顶点 ( v’ )。

该规则的正确性基于已有研究，因为我们只是删除了可安全移除的顶点的一个子集。而且，对于平面图形，该规则可以在 ( O(n) ) 时间内被彻底应用。