8、图收缩为路径和树的研究

图收缩为路径和树的研究

一、引言

在图论中，图修改问题是一个重要的研究领域，其中顶点删除、边删除和边收缩是常见的图修改操作。对于一个图类 $\Pi$，$\Pi$-收缩问题就是判断给定图 $G$ 是否能通过最多 $k$ 次边收缩得到图类 $\Pi$ 中的一个图。

以往，顶点删除和边删除问题在固定参数可处理性方面得到了深入研究，但边收缩问题从参数化角度的研究相对较少。本文聚焦于当 $\Pi$ 为无环图类和路径图类时的 $\Pi$-收缩问题，分别称为树收缩问题和路径收缩问题。这两个问题输入为一个 $n$ 顶点的无向图 $G$ 和整数 $k$，任务是判断能否通过最多 $k$ 次边收缩分别得到无环图或路径。

树收缩和路径收缩问题的顶点删除版本，即反馈顶点集和最长诱导路径问题，是著名且研究充分的问题，它们在以删除顶点数为参数时是固定参数可处理的，并且有多项式核。而本文将为树收缩和路径收缩问题提供新的算法和核相关的结果。

二、定义和符号

1. 图的基本定义
   • 本文所涉及的图均为有限、无向且简单的图，即无多重边和环。图 $G$ 的顶点集记为 $V(G)$，边集记为 $E(G)$，也可用有序对 $(V(G), E(G))$ 表示图 $G$，设 $n = |V(G)|$。
   • 顶点 $v$ 在图 $G$ 中的邻域 $N_G(v) = {w \in V | vw \in E}$。对于顶点子集 $S \subseteq V$，$N_G(S) = \bigcup_{v \in S} N_G(v) \setminus S$。若 $S$ 中的顶点能覆盖集合 $T \s