递归与数学归纳法证明及编程实现

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于 2025-09-14 09:46:39 发布 · 618 阅读

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#递归 #数学归纳法 #分治算法

22、设F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)表示一个递归函数，其中n是正整数，且F(1)和F(2)为任意初始值。证明对于n ≥ 2，该函数可以写成F(n) = F(2) + ∑(i = 1到n - 2) F(i)的形式。

可通过数学归纳法进行证明。

基础步骤 ：当 $ n = 2 $ 时，等式右边为
$$
F(2) + \sum_{i=1}^{2 - 2} F(i) = F(2) + 0 = F(2)
$$
等式左边为 $ F(2) $，左边等于右边，基础步骤成立。
归纳步骤 ：假设对于 $ n = k $（$ k \geq 2 $）时等式成立，即
$$
F(k) = F(2) + \sum_{i=1}^{k - 2} F(i)
$$
当 $ n = k + 1 $ 时，
$$
F(k + 1) = F(k) + F(k - 1)
$$
将归纳假设
$$
F(k) = F(2) + \sum_{i=1}^{k - 2} F(i)
$$
代入可得
$$
F(k + 1) = F(2) + \sum_{i=1}^{k - 2} F(i) + F(k - 1) = F(2) + \sum_{i=1}^{(k + 1) - 2} F(i)
$$
即 $ n = k + 1 $ 时等式也成立。

由数学归纳法可知，对于 $ n \geq 2 $，
$$
F(n) = F(2) + \sum_{i=1}^{n - 2} F(i)
$$
成立。

23、实现三个函数来计算一个数字列表中元素的总和。这些函数将接收两个输入参数：一个列表及其大小（即长度）。此外，给出调用这些函数并打印其结果的示例。

以下是示例代码：

# Decomposition: s(a) => s(a[0:n-1]), a[n-1]
def sum_list_length_1(a, n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return (sum_list_length_1(a, n - 1) + a[n - 1])

# Decomposition: s(a) => a[0], s(a[1:n])
def sum_list_length_2(a, n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return a[0] + sum_list_length_2(a[1:], n - 1)

# Decomposition: s(a) => s(a[0:n//2]), s(a[n//2:n])
def sum_list_length_3(a, n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return a[0]
    else:
        middle = n // 2
        return (sum_list_length_3(a[:middle], middle) + sum_list_length_3(a[middle:], n - middle))

# Some list:
a = [5, -1, 3, 2, 4, -3]

# Function calls:
print(sum_list_length_1(a, len(a)))
print(sum_list_length_2(a, len(a)))
print(sum_list_length_3(a, len(a)))

24、定义一个函数，用于计算前n个非负整数的和，该函数需要支持n = 0作为输入参数，并编写该函数的代码。

def sum_first_n(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return sum_first_n(n - 1) + n

25、推导前n个正整数之和S(n)的递归定义，其中递归情况将把四个规模约为原问题一半的子问题的结果相加。最后，定义并编写完整的递归函数。

可按照以下思路求解：

先将前 $ n $ 个正整数之和 $ S(n) $ 分解为四个规模约为 $ \frac{n}{2} $ 的子问题；
根据分解推导递归定义；
根据递归定义编写 Python 代码，考虑 $ n $ 为 1、偶数和奇数的不同情况。

26、定义一个递归函数，用于计算包含n个元素的列表a中的最大值，其中问题的分解只需将问题规模减小一个单位。

# 定义递归函数 find_max 用于计算列表中的最大值
# 函数接收一个列表 a 作为参数
# 如果列表 a 只有一个元素，直接返回该元素
# 否则，递归调用 find_max 函数计算除最后一个元素外的子列表的最大值
# 比较子列表的最大值和最后一个元素的大小，返回较大值
def find_max(a):
    if len(a) == 1:
        return a[0]
    else:
        sub_max = find_max(a[:-1])
        return sub_max if sub_max > a[-1] else a[-1]