5、随机变量的联合分布、矩生成函数与极限定理

随机变量的联合分布、矩生成函数与极限定理

1. 随机变量函数的联合概率分布

在处理随机变量时，有时需要从已知的联合连续随机变量 (X_1) 和 (X_2) 的联合概率密度函数 (f(x_1, x_2)) ，来获取由它们的函数 (Y_1 = g_1(X_1, X_2)) 和 (Y_2 = g_2(X_1, X_2)) 所构成的随机变量 (Y_1) 和 (Y_2) 的联合分布。
要满足以下两个条件：
- 方程 (y_1 = g_1(x_1, x_2)) 和 (y_2 = g_2(x_1, x_2)) 能够唯一地用 (y_1) 和 (y_2) 解出 (x_1) 和 (x_2) ，设解为 (x_1 = h_1(y_1, y_2)) ， (x_2 = h_2(y_1, y_2)) 。
- 函数 (g_1) 和 (g_2) 在所有点 ((x_1, x_2)) 处都有连续的偏导数，并且下面的 (2\times2) 行列式 (\begin{vmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial x_1}&\frac{\partial g_1}{\partial x_2}\\frac{\partial g_2}{\partial x_1}&\frac{\partial g_2}{\partial x_2}\end{vmatrix}\neq0) 在所有点 ((x_1, x_2)) 处成立。

在这两个条件下，随机变量 (Y_1) 和 (Y_2) 是联合连续的，其联合密度函数为（此处省略具体公式）。

例如，若 (X) 和 (Y) 分别是参数为 ((\alpha, \lambda)) 和 ((\beta, \lambda)) 的独立伽马随机变