8、高斯混合模型与t分布：复杂数据密度建模的有效工具

高斯混合模型与t分布：复杂数据密度建模的有效工具

在处理复杂的数据密度时，我们常常需要强大的模型和算法。高斯混合模型（Mixture of Gaussians, MoG）和t分布是两种非常实用的工具，它们在数据分析、机器学习等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍这两种模型及其使用的期望最大化（EM）算法。

高斯混合模型

高斯混合模型是一种适用于使用EM算法进行学习的典型模型。它将数据描述为K个正态分布的加权和，公式如下：
[Pr(x|\theta) = \sum_{k=1}^{K} \lambda_k Norm_x[\mu_k, \Sigma_k]]
其中，(\mu_{1…K})和(\Sigma_{1…K})是正态分布的均值和协方差，(\lambda_{1…K})是正权重，且它们的和为1。高斯混合模型通过组合简单的组成分布来描述复杂的多峰概率密度。

为了从训练数据({x_i} {i=1}^{I})中学习参数(\theta = {\mu_k, \Sigma_k, \lambda_k} {k=1}^{K})，我们可以使用最大似然方法：
[\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} \left[ \sum_{i=1}^{I} \log[Pr(x_i|\theta)] \right] = \arg\max_{\theta} \left[ \sum_{i=1}^{I} \log \left[ \sum_{k=1}^{K} \lambda_k Norm_{x_i}[\mu_k, \Sigma_k] \right] \right]]
然而，对参数(\theta)求导并令结果为零后，无法以封闭形式求解这些方程。问题