43、更快的子式包含参数化算法

更快的子式包含参数化算法

在现代组合学中，图子式理论是一个深刻且重要的理论。它对算法的发展产生了深远影响，参数化复杂性等领域都源于图子式理论。本文将介绍一种用于子式包含问题的参数化算法，该算法在时间复杂度上有显著提升。

1. 引言

图子式理论由 Robertson 和 Seymour 提出，他们证明了 Wagner 猜想，即每个子式封闭的图性质都可以由一组有限的禁止子式来刻画。这一结果对算法设计有重要意义，因为它意味着可以在多项式时间内测试子式封闭性质。然而，现有的多项式时间算法中的隐藏常数非常大，即使对于简单的模式，算法也不实用。

分支宽度是图子式系列中引入的一个基本算法工具，它与树宽一起作为图与树结构拓扑相似性的度量。Courcelle 定理表明，所有可以用一元二阶逻辑（MSOL）公式表达的图问题都可以在 $f(bw(k), φ) · n$ 步内解决。子式检查（对于固定模式）可以用 MSOL 表达，因此存在一个 $f(k, h)·|V (G)|$ 步的算法来解决以下参数化问题：

H - 子式包含问题
- 输入 ：图 $G$（宿主图）。
- 参数 ：$k = bw(G)$。
- 问题 ：$G$ 是否包含与 $H$（模式图）同构的子式？

Hicks 提供了一个 $O(3k^2 · (h + k -1)! · m)$ 步的算法来解决 H - 子式包含问题，但本文的目标是提供参数依赖性更好的参数化算法。

2. 定义

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