37、无充电的警察与强盗游戏解读

无充电的警察与强盗游戏解读

1. 引言

追求 - 逃避游戏在现实世界中有诸多应用，如机器人追踪移动目标、军事上的导弹拦截等。经典的追求 - 逃避问题包括“人与狮子问题”，其离散版本即警察与强盗游戏，由两个玩家在无向图上进行：警察玩家操控一组警察试图抓捕强盗玩家控制的强盗。游戏开始时，警察玩家选顶点放置警察，接着强盗玩家选顶点放置强盗，双方轮流行动，警察和强盗每次可移动到相邻顶点或留在原地，警察抓到强盗则获胜。

然而，传统的警察与强盗游戏未对玩家的移动次数设限，这在实际应用中不现实。于是，本文引入了更现实的场景，即每个警察的移动步数有限，类似现实中机器人需充电、狮子追捕需休息。此问题还与图论中的最小支配集问题相关，当燃料限制为 1 时，它等价于最小支配集问题；而燃料无限制时，就是传统的警察与强盗游戏。

2. 基本定义和预备知识

• 图的基本概念 ：考虑无环和多重边的有限无向图 (G)，顶点集记为 (V(G))，边集记为 (E(G))。对于顶点 (v)，其开邻域 (N_G(v)) 是相邻顶点集，闭邻域 (N_G[v]=N_G(v)\cup{v})。若 (U\subseteq V(G))，则 (N_G[U]=\bigcup_{v\in U}N_G[v])。两顶点 (u) 和 (v) 在连通图 (G) 中的距离 (dist_G(u, v)) 是最短 (u - v) 路径的边数，对于正整数 (r)，(N^r_G[v]={u\in V(G):dist_G(u, v)\leq r})。
• 警察与强盗游戏定义 ：设 (G) 为图，(f\gt0) 为整数。游戏由警察玩