4、概率分布拟合方法：从最大后验估计到贝叶斯方法

概率分布拟合方法：从最大后验估计到贝叶斯方法

在数据分析和机器学习领域，拟合概率分布是一项基础且重要的任务。它能够帮助我们理解数据的内在结构，预测新数据点的概率，从而为决策提供依据。本文将详细介绍三种常见的概率分布拟合方法：最大后验估计（MAP）、最大似然估计（ML）和贝叶斯方法，并通过单变量正态分布和分类分布的实例进行说明。

单变量正态分布的最大后验估计

最大后验估计（MAP）是一种结合了先验信息和数据似然的参数估计方法。对于单变量正态分布，我们的目标是找到参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的最优估计值。

我们选择了正态逆伽马先验分布，其参数为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 和 $\delta$。这个先验分布与正态分布是共轭的，这意味着后验分布也具有相同的形式，方便我们进行计算。

先验分布的表达式为：
[Pr(\mu,\sigma^2) = \frac{\sqrt{\gamma}}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^{\alpha + 1}\exp\left[-\frac{2\beta + \gamma(\delta - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]]

后验分布与似然函数和先验分布的乘积成正比，我们可以通过最大化后验分布来找到最优参数。为了方便计算，通常会对后验分布取对数，然后求导并令导数为零，得到：
[\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{I}x_i + \gamma\delta}{I + \gamma}