23、在线用户行为定量分析与线性方程组问题研究

在线用户行为定量分析与线性方程组问题研究

1. 引言

在当今数字化时代，搜索行业通过融合机制设计、算法、机器学习和大规模分布式计算等原理，在基于科学原则优化货币化方面取得了显著成效，这体现了计算机科学与微观经济学之间成功且不断发展的合作。然而，在理解在线用户如何响应所呈现的内容和体验方面，计算机科学与某些社会科学之间的合作仍存在不足。

我们将以图像搜索结果展示为例，探讨其中涉及的算法和机器学习问题。同时，会重点研究线性方程组相关问题，如 Max Lin 问题。

Max Lin 问题是给定一个在 $F_2$ 上的 $m$ 个线性方程、$n$ 个变量的系统 $Az = b$，每个方程被赋予一个正权重，目标是找到变量的赋值，以最大化满足方程的总权重，即满足方程的总权重减去不满足方程的总权重（称为“超额值”）。其特殊情况 Max r - Lin 指每个方程最多有 $r$ 个变量。

Håstad 的不可近似性定理表明，除非 $P = NP$，对于每个 $\epsilon > 0$，不存在多项式时间算法来区分 Max 3 - Lin 的实例，即无法区分至少 $(1 - \epsilon)m$ 个方程可同时满足的实例和少于 $(1/2 + \epsilon)m$ 个方程可同时满足的实例。

2. 最大超额值的结果

为了研究 Max Lin 问题，我们引入了两个约简规则：
- 约简规则 1 ：设 $t = rankA$，且 $A$ 的列 $a_{i1}, \ldots, a_{it}$ 线性独立，则从 $Az = b$ 的方程中删除不在 ${z_{i1}, \ldots, z_{i