级数求和与组合恒等式证明

1、计算级数∑n = 1∞(−1)n+1/n和∑n = 0∞(n + 1)/3n的精确值。

对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$，根据已知结论其值为 $\ln 2$；

对于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n}$，设
$$
S = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n \quad (|x| < 1)
$$
先对
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}
$$
求导再变形可得
$$
S = \frac{1}{(1 - x)^2}
$$
将 $x = \frac{1}{3}$ 代入得
$$
S = \frac{9}{4}
$$
即
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n}
$$
的值为 $\frac{9}{4}$。

2、证明En欧拉数的指数生成函数为∑n = 0∞Enxn/n! = sec x + tan x。

该递推式与初始条件 $ E_0 = 1 $ 等价于微分方程
$$
2f’(x) = f^2(x) + 1
$$
且 $ f(0) = 1 $。满足上述初始值的此方程的解为
$$
\sec x + \tan x。
$$

3、给定模式 (j1, j2, …, j8) = (0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0)，有多少个 8 元素的排列具有这个给定模式？

根据公式，排列数为
$$
\frac{8!}{0! \times 1^0 \times 2! \times 2^2 \times 2! \times 3^2 \times 0! \times 4^0 \times 0! \times 5^0 \times 0! \times 6^0 \times 0! \times