21、对抗 k 个谎言的最值与覆盖半定规划算法解析

对抗 k 个谎言的最值与覆盖半定规划算法解析

1. 对抗 k 个谎言的最值问题

在处理带有谎言干扰的排序问题时，有一个关键结论：对于排序一个 s 元素集合的（随机化）算法，其期望厚度为 Ω(s)。下面详细阐述其证明过程。
- 基本概念定义
- 元素状态 ：在算法的每一步中，若元素 x 未参与过之前的比较，则称其为“未使用元素”（virgin）；反之，则为“已使用元素”（tainted）。
- 比较类型 ：若一次比较中至少涉及一个未使用元素，则称这次比较为“新鲜比较”（fresh comparison）。
- 集合划分 ：假设 s 能被 8 整除，将集合 X 划分为两部分，L 包含输入顺序（也是算法输出顺序）中的前 s/2 个元素，R = X \ L。
- 事件定义 ：设 Ei 为第 i 次新鲜比较是 LR - 比较（即比较的两个元素一个在 L 中，另一个在 R 中）这一事件。
- 概率分析
- 固定条件 ：固定算法 A 在第 i 次新鲜比较之前所有比较的结果，这确定了已使用元素的集合；同时固定这些已使用元素在输入顺序中的位置。
- 未使用元素分布 ：此时，未使用元素在输入顺序中剩余位置上仍是随机分布的。设 ℓ 为 L 中未使用元素的数量，r 为 R 中未使用元素的数量，有 s/4 ≤ ℓ, r ≤ s/2。
- 分