5、严格正则数系统与数据结构

严格正则数系统与数据结构

1. 严格正则树的指数性质

严格正则树具有重要的指数性质，以下引理对此进行了说明：
- 引理 4 ：秩为 r 的严格正则树至少有 2r 个节点。
- 证明 ：采用归纳法。对于秩为 0 的节点，该结论显然成立。假设对于秩为 r 的节点 x 的所有子树，该假设都成立。设 y 是 x 的秩最大的子节点。根据引理 3，如果 x 的基数序列的最后一个块是 01+ 块，则 rank(x) = rank(y)。通过归纳法，y 的子树的节点数至少为 2r，引理得证。否则，x 的基数序列仅包含 01∗2 和 1+ 块。可以得出，对于从 0 到 r - 1 的每个 i，x 都存在一个秩至少为 i 的不同子树。再次使用归纳法，以 x 为根的树的大小至少为 1 + ∑(i = 0 到 r - 1) 2i = 2r。

2. 支持的操作及相关子例程

为了高效支持一些操作，需要实现对应的子例程，以下是详细介绍：
- 支持的操作 ：
- 向节点 x 的子节点中添加一个根节点秩至多为 r 的子树。
- 从节点 x 的子节点中分离一个子树。
- 分割节点 x 的子节点序列，将具有最高秩的子节点和其他子节点分开。
- 将一个最小秩等于 r 的严格正则子树序列连接到节点 x 的子节点中。
- 子例程 ：
- link(T1, T2) ：断言 T1 和 T2 的根节点具有相同的秩。使一个根节点成为另一个根节点的子节点