3、从角度信息重构简单多边形

从角度信息重构简单多边形

在几何图形的研究中，从测量数据重构多边形是一个备受关注的问题。本文将深入探讨如何从多边形顶点处测量的角度信息来重构一个简单多边形，并介绍一种高效的算法。

1. 问题背景与介绍

在过去的十年里，从测量数据重构几何对象的问题吸引了大量的关注。特别是，重构具有特定属性的多边形的问题有多种变体，并且对于不同的数据集，这个多边形重构问题已被证明是NP难的。近年来，像测距扫描仪等新型传感设备的数据也被纳入研究范围，由此产生的大多数重构问题同样是NP难的，不过也有少数问题可以在多项式时间内解决。

我们研究的问题是由测量角度序列的传感器所引发的重构问题。具体而言，假设在简单多边形的每个顶点 $v$ 处，传感设备会返回从该顶点可见的每对顶点之间的角度序列，这些角度按逆时针（ccw）顺序排列，起始于多边形边界上 $v$ 的逆时针相邻顶点。我们把这种输入为简单多边形各顶点处的逆时针角度测量序列，输出为符合这些测量角度的简单多边形的问题，称为“从角度信息进行多边形重构问题”。

我们的贡献在于提出了一种能在多项式时间内解决该问题的算法，并且证明了该算法的解是唯一的（相似意义下）。我们的重点在于多边形的可见性图，即一个图，其节点为多边形的顶点，若两个顶点相互可见，则它们之间存在一条边。实际上，重构多边形的可见性图就足够了，因为结合角度数据，就可以轻松推断出多边形的形状（相似意义下）。我们证明了只有原始多边形 $P$ 的可见性图与在 $P$ 中测量的角度数据所包含的信息兼容。我们的算法能在多项式时间内找到这个唯一的可见性图，从而在多项式时间内重构出原始多边形（相似意义下）。需要注意的是，如果仅给出角度测量值的集合，而不知道顶点沿边界的顺序，通常是无法唯一重构多边形