15、伪随机性与计算不可区分性中的证明技术

伪随机性与计算不可区分性中的证明技术

在密码学的研究中，证明某些性质的安全性是至关重要的。本文将介绍两种重要的证明技术：游戏跳跃技术（Game - Hopping Technique）和混合论证（Hybrid Argument），并通过具体的例子和定理来详细阐述它们的应用。

游戏跳跃技术

在密码学证明中，游戏跳跃技术是一种常用的方法，用于将一个复杂的游戏逐步转化为一个更容易分析的游戏，从而证明某个方案的安全性。

基本原理

在游戏跳跃过程中，我们会从一个初始游戏逐步过渡到另一个游戏。设 $Pr[Game_i(\lambda)]$ 表示敌手在游戏 $Game_i(\lambda)$ 中获胜的概率。当进行游戏跳跃时，我们关注的是“损失” $\epsilon_i(\lambda)$，满足不等式：
$Pr[Game_i(\lambda)] \leq Pr[Game_{i + 1}(\lambda)] + \epsilon_i(\lambda)$

这个“损失” $\epsilon_i(\lambda)$ 通常通过归约到某个底层的密码学假设来界定。有时，也可以基于纯粹的概率论证来进行量化。如果我们能为所有的游戏跳跃给出界限，那么就可以界定原始游戏的成功概率：
$Pr[Game_1(\lambda)] \leq Pr[Game_2(\lambda)] + \epsilon_1(\lambda) \leq Pr[Game_3(\lambda)] + \epsilon_1(\lambda) + \epsilon_2(\lambda) \leq \cdots \leq Pr[Game_m(\lambda)] + \sum_{i = 1}^