2、基于粗糙集计算的区间统计估计方法

基于粗糙集计算的区间统计估计方法

1. 区间计算与模糊不确定性

在实际问题中，对于每个量 $x_i$，我们往往仅知道测量误差 $\Delta x_i$ 的上限 $\Delta_i$。一旦获得测量结果 $\hat{x}_i$，关于实际（未知）值 $x_i$ 的唯一信息就是它属于区间 $x_i = [\hat{x}_i - \Delta_i, \hat{x}_i + \Delta_i]$。对于每个量 $y = f(x_1, \ldots, x_n)$，不同的 $x_i \in x_i$ 通常会导致不同的 $y$ 值，因此找到所有这些值的范围 $y$ 是很有必要的。

1.1 模糊不确定性及其转化为区间不确定性

除了边界信息，我们还可能有专家对 $\Delta x_i$ 的估计。专家通常使用自然语言中的词汇来描述其不确定性，例如“最有可能，该量的值在 3 到 4 之间”。为了将这种知识形式化，自然会使用模糊集理论，它是专门为描述这种非正式（“模糊”）知识而设计的形式化方法。

在模糊集理论中，专家对 $x_i$ 的不确定性由一个模糊集描述，即一个函数 $\mu_i(x_i)$，它为第 $i$ 个量的每个可能值 $x_i$ 分配专家认为 $x_i$ 是可能值的确定程度。模糊集也可以描述为一个嵌套的 $\alpha$-截集族 $x_i(\alpha) = {x_i | \mu_i(x_i) \geq \alpha}$。

Zadeh 扩展原理可用于将 $x_i$ 的模糊集转换为 $y$ 的模糊集。对于有界域上的连续函数 $f$，该原理等价于对于每个 $\alpha$，有 $y(\alpha) = f(x_1(\alpha), \ldots, x_n(\alpha)