88、求解二次分配问题的二次凸重构比较

求解二次分配问题的二次凸重构比较

在优化领域，二次分配问题（QAP）是一个极具挑战性的难题。它旨在最小化一个受分配约束的二次函数，其中变量为二进制。今天，我们将深入探讨两种解决QAP的算法，它们基于将原始问题重构为连续松弛为凸问题的等价二次问题。

1. 二次分配问题（QAP）概述

QAP的一般形式可以表示为：
[
\begin{cases}
\min f(x) = \sum_{(i,j,k,l)\in I^4} q_{ijkl}x_{ij}x_{kl} \
\sum_{i=1}^{n} x_{ij} = 1, & j \in I \
\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = 1, & i \in I \
x_{ij} \in {0, 1}, & (i, j) \in I^2
\end{cases}
]
其中，$I$ 是 $n$ 个设施或位置的集合，决策变量 $x_{ij}$ 表示设施 $i$ 分配到位置 $j$，$q_{ijkl}$ 是将设施 $i$ 分配到位置 $j$ 以及设施 $k$ 分配到位置 $l$ 所产生的成本。Sahni和Gonzalez证明了QAP是NP难问题，即使在更一般的情况下，当Hessian矩阵完全稠密时，没有精确算法能够解决规模 $n > 35$ 的问题。

为了解决这个问题，许多算法被提出，其中大多数基于分支定界（B&B）技术。为了计算多项式界，许多作者通过引入额外变量对二次目标函数进行线性化。半定规划松弛也被用于QAP。半定规划和凸规划得到的界在质量上与现有的QAP最佳下界具有竞争力。

2. 紧凑等价