84、加权树中的w-质心与最小(w, l)-中心子树及动态车辆路径问题求解

加权树中的w-质心与最小(w, l)-中心子树及动态车辆路径问题求解

1. 加权树相关概念与引理

1.1 基本定义

• 图操作：从图 $G$ 中删除 $U \cap V(G)$ 中的所有顶点及其关联边，得到 $G - U$。若 $U = {v}$，则记为 $G - v$。
• 子树距离：对于加权树 $T$ 的两个子树 $S_1$ 和 $S_2$，$d_T(S_1, S_2)$ 是连接 $S_1$ 和 $S_2$ 中两个顶点的最短加权路径的长度。若 $S_1 = {x}$，$S_2 = {y}$，则记为 $d_T(x, y)$。
• 子树交与并：子树 $S_1$ 和 $S_2$ 的交 $S_1 \wedge S_2$ 是由 $S_1$ 和 $S_2$ 顶点集的交集诱导的子树（交集非空时）；并 $S_1 \vee S_2$ 是包含 $S_1$ 和 $S_2$ 的最小子树。

1.2 重要引理

引理编号	内容
引理 1	设 $S_1$ 和 $S_2$ 是加权树 $T$ 的两个子树，若 $V(S_1) \subset V(S_2)$，则 $d_L(S_1, S_2) = w(S_2) - w(S_1)$。
引理 2	设 $S_1$ 和 $S_2$ 是加权树 $T$ 的两个子树，若 $V(S_1) \cap V(