74、战略在线设施选址问题研究

战略在线设施选址问题研究

1. 引言

在线设施选址问题中，算法的效率和竞争比是关键考量因素。在某些情况下，算法与局部最优解比较，这会导致效率因子较高。若对算法施加节俭限制，效率会有一定提升。

2. 相关定理及证明

2.1 定理 4

若每个玩家使用节俭的 $O(\sqrt{\alpha})$ 竞争算法，那么在线无政府价格为 $\Theta(\alpha)$。
- 证明思路 ：
- 对于有至少一个请求的节点，成本不超过 $2\alpha$，而最优解中这些成本至少为 1，由此可直接得出上界。
- 对于下界，采用定理 3 证明中的构造方法。设有节点 $v_1, \cdots, v_n$ 与节点 $x$ 距离为 1，$f_0$ 与 $x$ 相连，且 $d(v_i, f_0) = \alpha/4$。使用相同请求序列，每个局部最优解的成本为 $\alpha/4$，玩家能在累计成本不超过 $\alpha$ 且竞争比不超过 $O(\sqrt{\alpha})$ 的情况下服务请求。可分配策略使玩家不投标，对应策略配置的成本为 $n \cdot \Theta(\alpha)$，而最优解成本至多为 $\alpha + n$，当 $n > \alpha$ 时可得无政府价格的下界。

2.2 定理 5

没有确定性在线算法的竞争比能优于 $\Omega(\alpha)$。
- 证明思路 ：
- 构建一个图，初始设施 $f_0$ 在中心，$\alpha$ 条直线从 $f_0$ 连接到端点 $v_1, \cdot