59、解决方案扩展问题中的残差近似研究

解决方案扩展问题中的残差近似研究

在算法问题求解中，近似算法是处理NP难问题的重要手段。本文将介绍几种不同的问题及其近似性质，包括加权SAT问题、Steiner生成子图问题、装箱问题以及最大叶子生成树问题等，并探讨它们在残差近似和扩展近似方面的特性。

1. 加权SAT问题

加权SAT（WSAT）和最小/最大SAT（MMSAT）是两种常见的布尔可满足性问题变体。
- 加权SAT（WSAT）
- 输入 ：变量集$V$上的公式$\phi$，权重函数$\omega : V \to N$。
- 任务 ：找到一个满足赋值$\alpha : V \to {0, 1}$，使得$\sum_{v} \omega(v) \cdot \alpha(v)$最优。
- 最小/最大SAT（MMSAT）
- 输入 ：变量集$V$上的析取式集合$\phi$，权重函数$\omega : \phi \to N$。
- 任务 ：找到一个赋值$\alpha : V \to {0, 1}$，使得$\sum{\omega(C) | \alpha$满足$C \in \phi}$最优。

命题3表明，如果加权SAT的一个版本$A$属于APX，并且对于$A$的任何实例$(\phi, \omega)$和$\phi$的任何变量$x$，$(\phi | {x=0}, \omega)$和$(\phi | {x=1}, \omega)$也